Lấy Tổng góc ngoài ($360^\circ$) chia cho 1 góc ngoài là ra ngay số cạnh: $n = \frac{360^\circ}{36^\circ} = 10$ cạnh! Xong trong 5 giây!
Bài Proof 17 (Trang 6) – Tổng 4 góc của Tứ Giác
Given: Quadrilateral $ABCD$.
Prove: $m\angle A + m\angle B + m\angle C + m\angle D = 360^\circ$.
Giải thích: Hãy vẽ 1 đường chéo $AC$ chia Tứ giác làm 2 Tam giác ($\triangle ABC$ và $\triangle ADC$). Mỗi tam giác có tổng 3 góc là $180^\circ$ (Theo Định lý 19). Hai tam giác cộng lại là $180 + 180 = 360^\circ$. Theorem 19: The sum of the measures of the angles of a triangle is 180.
Trang 12-14 – Chứng Minh Hình Bình Hành Cơ Bản
Bài Proof 1 (Trang 14): Đường chéo cắt hình bình hành
Given: $\square ABCD$ with diagonal $\overline{BD}$.
Prove: $\triangle ABD \cong \triangle CDB$. (Đường chéo tạo ra 2 tam giác bằng nhau)
Hướng Dẫn Tư Duy Từng Bước:
Bước 1: Hình bình hành mặc định có các cạnh đối song song ($AB \parallel CD$, $AD \parallel BC$).
Bước 2: Đường chéo $BD$ vắt ngang qua các đường song song tạo ra 2 hình chữ Z. Ta có 2 cặp góc so le trong bằng nhau ($\angle 1 \cong \angle 3$, $\angle 2 \cong \angle 4$). Theorem 9: If two parallel lines are cut by a transversal, then the alternate interior angles are congruent.
Bước 3: Cạnh chéo $BD$ là bức tường dùng chung cho cả 2 tam giác (Reflexive Property).
Bước 4: Gom đủ 3 mảnh ghép: Góc – Cạnh (ở giữa) – Góc $\rightarrow$ $\triangle ABD \cong \triangle CDB$ (Dùng tiên đề ASA Postulate).
Tương tác Hình Bình Hành
#
Statements (Khẳng định)
Reasons (Lý do)
1
$\square ABCD$ with diagonal $\overline{BD}$. $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ and $\overline{AD} \parallel \overline{BC}$.
If a trans. intersects two $\parallel$ lines, then alt. int. $\angle$s are $\cong$. (T.9)
Hai góc so le trong của đường song song thì bằng nhau.
3
$\overline{BD} \cong \overline{BD}$.
Reflexive Property.
Tính chất phản xạ (Cạnh chung bằng chính nó).
4
$\therefore \triangle ABD \cong \triangle CDB$.
ASA Postulate. (P.16)
Tiên đề Góc – Cạnh – Góc.
Sau bài này, khi có $\triangle ABD \cong \triangle CDB$, em có quyền dùng CPCTC để tuyên bố mọi mảnh ghép tương ứng đều bằng nhau: $AB = CD$ và $AD = BC$ (Tức là các cạnh đối của HBH thì bằng nhau).
Trang 15-26 – Các Dấu Hiệu Chứng Minh Hình Bình Hành
“Lật ngược vấn đề”:
Phần trước ta học: Đã là HBH $\rightarrow$ suy ra cạnh bằng nhau, góc bằng nhau.
Phần này đi ngược lại: Cứ thấy tứ giác có các đặc điểm sau $\rightarrow$ Kết luận ngay nó là HBH!
Theorem 34: Có 2 cặp cạnh đối bằng nhau ($AB=CD, AD=BC$) $\rightarrow$ là HBH. If both pairs of opposite sides of a quadrilateral are congruent, then it is a parallelogram.
Theorem 35: Có 1 cặp cạnh vừa song song vừa bằng nhau ($AB \parallel CD$ và $AB=CD$) $\rightarrow$ là HBH. If one pair of opposite sides is both parallel and congruent, then it is a parallelogram.
Theorem 36: Hai đường chéo cắt đôi nhau ($AE=CE, BE=DE$) $\rightarrow$ là HBH. If the diagonals of a quadrilateral bisect each other, then it is a parallelogram.
1. Bài Proof 1 (Trang 19) – Dùng SSS (Cạnh-Cạnh-Cạnh)
Given: Quad. $ABCD$ with $\overline{AB} \cong \overline{CD}$ and $\overline{AD} \cong \overline{CB}$.
Prove: $ABCD$ is a parallelogram.
Statements
Reasons
1. Quad. $ABCD$ with $\overline{AB} \cong \overline{CD}$ and $\overline{AD} \cong \overline{CB}$.
Từ tam giác bằng nhau suy ra các cạnh viền ngoài bằng nhau.
5
$\therefore ABCD$ is a parallelogram.
If both pairs of opp. sides are $\cong$, the quad. is a $\square$. (T. 34)
Định lý 34: Có 2 cặp cạnh đối bằng nhau $\rightarrow$ Hình Bình Hành.
Bài Proof 11 (Trang 26) – Rút Gọn
Đề bài: Cho $\square ABCD$ có đường chéo $BD$. Chứng minh $\triangle ABD \cong \triangle CDB$.
Logic giải: Đã là HBH $\rightarrow$ $AB \parallel CD$, $AD \parallel CB$ (Def of $\square$).
Cắt bởi đường chéo $BD$ $\rightarrow$ có 2 chữ Z $\rightarrow$ $\angle 1 \cong \angle 3$ và $\angle 2 \cong \angle 4$ (Alt. int. angles).
Cạnh chung $BD \cong BD$ (Reflexive).
Kết luận 2 tam giác bằng nhau nhờ **ASA**!
Trang 27-30 – Hình Chữ Nhật, Thoi, Vuông
Trang 27 – Hình Chữ Nhật
Đề: Cho HCN $ABCD$. Chứng minh Đường chéo $AC \cong BD$.
Cách giải: Tách thành 2 tam giác vuông $\triangle ADC$ và $\triangle BCD$. Dùng Cạnh-Góc Vuông-Cạnh (SAS) $\rightarrow$ Hai tam giác bằng nhau $\rightarrow$ Cạnh huyền (đường chéo) bằng nhau (CPCTC).
Định lý 37: The diagonals of a rectangle are congruent.
Trang 28 – Hình Thoi
Đề: Cho Hình Thoi $ABCD$. Chứng minh Đường chéo $AC \perp BD$.
Cách giải: Dùng SSS chứng minh 2 tam giác nhỏ nằm kề nhau bằng nhau ($\triangle AEB \cong \triangle CEB$). Suy ra 2 góc ở tâm E bằng nhau. Mà chúng kề bù $\rightarrow 180/2 = 90^\circ$ (Vuông góc).
Định lý 38: The diagonals of a rhombus are perpendicular.
Bài Proof 10 (Trang 30) – Hình Vuông Lấy Hết Đặc Tính!
Given: Square $ABCD$ with diagonals $\overline{AC}$ and $\overline{BD}$.
Prove: $\triangle ABD \cong \triangle DCA$.
Sự hoàn hảo của Hình Vuông:
Hình vuông là sự kết hợp của Hình Chữ Nhật và Hình Thoi. Do đó, Hình Vuông auto được kế thừa: Đường chéo BẰNG NHAU (từ HCN) và VUÔNG GÓC (từ Hình thoi). Ở bài này, ta gọi định nghĩa của HCN ra để xài!
Statements
Reasons
1. Square $ABCD$ with diags $\overline{AC}$ & $\overline{BD}$.
1. Given.
2. $\overline{AD} \cong \overline{AD}$.
2. Reflexive Property.
3. $\overline{AB} \cong \overline{CD}$.
3. Definition of square. (4 cạnh =)
4. Square $ABCD$ is a rectangle.
4. Definition of square. (Có 4 góc vuông)
5. $\overline{AC} \cong \overline{BD}$.
5. Diagonals of a rectangle are $\cong$. (T. 37)
6. $\therefore \triangle ABD \cong \triangle DCA$.
6. SSS Postulate. (P. 14)
Trang 35-40 – Đường Trung Bình & Hình Thang
Định lý “Đường Cắt Ngang Đôi” (Midsegment & Median):
Đường trung bình Tam Giác (Trang 35 – Theorem 41): Nối 2 trung điểm của tam giác thì đường đó song song với đáy và bằng $1/2$ cái đáy. The segment connecting the midpoints of two sides of a triangle is parallel to the third side and is half as long.
Median của Hình Thang (Trang 37 – Theorem 42): Đoạn nối trung điểm 2 cạnh bên của hình thang song song với 2 đáy và dài bằng $1/2$ tổng 2 đáy. The median of a trapezoid is parallel to the bases and its length is one-half the sum of the lengths of the bases.
Bài Tập 8 (Trang 38) – Giải Đại Số Hình Thang
Công thức: $\text{Median} = \frac{1}{2}(\text{Base}_1 + \text{Base}_2)$
Đề bài: Đáy nhỏ $AB = x$, Đáy lớn $CD = 3x$. Đường Median $MN = 10$. Tìm độ dài thật của $AB$ và $CD$.
1. Ráp công thức
$\frac{1}{2}(x + 3x) = 10$
2. Nhân số 2 sang phải (Hoặc gom x trước)
$\frac{1}{2}(4x) = 10 \rightarrow 2x = 10$
3. Tìm $x$
$x = 5$
4. Kết luận độ dài
Đáy $AB = 5$. Đáy $CD = 3(5) = 15$.
Bài Proof 1 (Trang 39) – Trùm Cuối: Kẻ Đường Phụ
Given: Isosceles trapezoid $ABCD$ with legs $\overline{AB} \cong \overline{DC}$. (Hình thang cân)
Prove: Base angles are congruent ($\angle A \cong \angle D$ and $\angle ABC \cong \angle DCB$).
💡 Logic tuyệt đỉnh (Kẻ đường phụ): Hình ban đầu chỉ là 1 cái khối thang, không có tam giác để ghép. Đừng lo!
1. Hãy tự kẻ 2 đường cao thẳng đứng từ B và C cắm xuống mặt đất AD (Gọi là $BX \perp AD$ và $CY \perp AD$).
2. Hai đường thẳng đứng này luôn bằng nhau vì khoảng cách giữa 2 đường song song ($AD \parallel BC$) là không đổi.
3. Giờ ta có 2 tam giác vuông ở hai bên. Dùng định lý **HL** (Cạnh Huyền – Cạnh Góc Vuông) $\rightarrow \triangle BXA \cong \triangle CYD$.
4. Tam giác 2 bên bằng nhau thì 2 góc nhọn ở đáy $A$ và $D$ bằng nhau (CPCTC). Trọn vẹn 10 điểm! Theorem 43: Base angles of an isosceles trapezoid are congruent.
GEOMETRY 1112 PACE TEST (Self Test)
Name: …………………………………………………..Time: 45 minutes
PART I: POLYGONS & QUADRILATERALS
1. A polygon with all its interior angles pushing OUTWARD (no caves) is a polygon.
2. A polygon that is both equilateral and equiangular is called a polygon.
3. The sum of the interior angles of a pentagon ($n=5$) is degrees.
4. The sum of the exterior angles of ANY convex polygon is always degrees.
5. A parallelogram with four right angles is a .
6. A parallelogram with four congruent sides is a .
PART II: GEOMETRY MATH
7. The length of the median of a trapezoid with bases 12 and 18 is .
8. In a parallelogram, if one angle is $50^\circ$, the opposite angle is degrees.
Điền đáp án bằng Tiếng Anh, bấm “Kiểm tra” để xem kết quả và giải thích Tiếng Việt.
PHẦN 1: ĐIỀN TỪ VÀO CHỖ TRỐNG – LÝ THUYẾT (Câu 1 – 9)
1. A trapezoid with congruent legs is called an trapezoid.
Giải thích: Hình thang có hai cạnh bên bằng nhau (congruent legs) được gọi là hình thang Cân (Isosceles).
2. A parallelogram with 4 congruent sides is called a .
Giải thích: Một hình bình hành có 4 cạnh bằng nhau được gọi là Hình Thoi (Rhombus).
3. A quadrilateral with two pairs of parallel opposite sides is a .
Giải thích: Tứ giác có hai cặp cạnh đối diện song song với nhau là Hình Bình Hành (Parallelogram).
4. A polygon with exactly 8 sides is an .
Giải thích: Một đa giác có 8 cạnh được gọi là Bát giác (Octagon).
5. A polygon that is both equilateral and equiangular is a polygon.
Giải thích: Một đa giác hoàn hảo, có tất cả các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau là đa giác Đều (Regular).
6. A quadrilateral with perpendicular diagonals is a .
Giải thích: Tứ giác đặc biệt có hai đường chéo vuông góc với nhau tại trung điểm chính là Hình Thoi (Rhombus).
7. The sum of the exterior angles of any convex polygon is degrees.
Giải thích: Tổng số đo các góc ngoài của bất kỳ đa giác lồi nào cũng luôn luôn là 360 độ (Tạo thành 1 vòng tròn khép kín).
8. A segment connecting two non-consecutive vertices of a polygon is a .
Giải thích: Đoạn thẳng nối hai đỉnh không kề liền nhau (nằm chéo nhau) của một đa giác gọi là Đường chéo (Diagonal).
9. The median of a trapezoid connects the two of the legs.
Giải thích: Đường trung bình (median) của hình thang được vẽ bằng cách nối 2 Trung điểm (Midpoints) của hai cạnh bên.
PHẦN 2 & 3: TÍNH TOÁN CƠ BẢN VÀ ĐIỀN TỪ (Câu 10 – 20)
10. Calculate the sum of the interior angles of a 9-sided polygon: .
Giải thích (Hướng dẫn từng bước):
– Bước 1: Áp dụng công thức tổng góc trong $S = (n-2) \times 180^\circ$.
– Bước 2: Hình có 9 cạnh $\rightarrow n=9$. Ta thay vào: $S = (9-2) \times 180^\circ$.
– Bước 3: Tính toán: $7 \times 180 = \mathbf{1260^\circ}$.
11. The segment connecting the midpoints of the legs of a trapezoid is the .
Giải thích: Đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang gọi là Đường trung bình (Median).
12. A polygon with 4 sides is a .
Giải thích: Một đa giác có 4 cạnh thì được gọi chung là Tứ giác (Quadrilateral).
13. The sum of the interior angles is $540^\circ$. How many sides does it have? .
Giải thích: Lấy tổng chia cho 180: $540 \div 180 = 3$. Tức là $n-2 = 3$. Chuyển $-2$ qua ta được $n = 3+2 = \mathbf{5}$ cạnh.
Điền nhanh các tính chất (Câu 14 – 19):
14. A quad. with both pairs of opp. sides parallel:
15. A quad. with exactly one pair of parallel sides:
16. Opposite sides of a parallelogram are and congruent.
20. Sum of the interior angles of a quadrilateral ($n=4$): .
Giải thích: Thay n=4 vào công thức: $(4-2) \times 180 = 2 \times 180 = \mathbf{360^\circ}$.
PHẦN 4: MATCHING – NỐI CHỮ (Câu 21 – 25)
Nhập chữ cái (a, b, c, d, e) ở cột phải vào ô trống tương ứng với thuật ngữ ở cột trái.
21. Polygon
22. Diagonal
23. Convex
24. Rhombus
25. Regular
a. Equilateral and equiangular
b. Segment connecting non-consecutive vertices
c. A closed plane figure with straight sides
d. Parallelogram with 4 equal sides
e. All interior angles push outward (no caves)
Đề bài suy ra: Nối đúng định nghĩa với thuật ngữ. Đáp án là: 21. c | 22. b | 23. e | 24. d | 25. a.
PHẦN 5: TÍNH TOÁN NÂNG CAO (Câu 26 – 30)
26. Find the measure of ONE interior angle of a regular 7-gon: .
Giải thích: Tính tổng các góc: $(7-2) \times 180 = 900^\circ$. Vì là đa giác “đều”, lấy tổng 900 chia đều cho 7 góc: $900 \div 7 \approx \mathbf{128.57^\circ}$.
27. Sum of interior angles is $1,080^\circ$. How many sides? .
Giải thích: Lấy $1080 \div 180 = 6$. Suy ra $n = 6+2 = \mathbf{8}$ cạnh.
28. Find the measure of ONE exterior angle of an equilateral triangle: .
Giải thích: Luôn nhớ tổng góc ngoài là 360. Tam giác đều có 3 góc. Lấy $360 \div 3 = \mathbf{120^\circ}$.
29. Find the measure of ONE exterior angle of a regular pentagon: .
Giải thích: Tương tự, ngũ giác đều có n=5. Lấy $360 \div 5 = \mathbf{72^\circ}$.
30. A regular polygon has an exterior angle of $20^\circ$. How many sides? .
Giải thích: Lấy tổng góc ngoài (360) chia cho số đo một góc ngoài (20). Ta được: $360 \div 20 = \mathbf{18}$ cạnh.
PHẦN 6: CHỨNG MINH HÌNH HỌC (PROOFS)
Câu 31: Parallelogram Proof
Given: $\square ABCD$, diagonals intersect at $E$.
