Tuyệt Kỹ Phá Đảo Chứng Minh Hình Học
Bí kíp chinh phục môn Toán dành cho mọi học sinh: Đọc đề – Bấm nghe – Nhìn hình – Hiểu liền!
Từ Điển Cứu Hộ (Gặp chữ này, ghi ngay chữ kia)
Đề cho: $\perp$ (Vuông góc)
Phải ghi 2 dòng:
1. Def of $\perp$ lines
(Tạo góc vuông)
2. Def of rt. $\Delta$s
(Thành tam giác vuông)
Đề cho: Bisect / Midpoint
Chia đôi đoạn/góc. Ghi ngay:
Def of bisector
(Tia phân giác)
Def of midpoint
(Trung điểm)
Hình có: Chữ X chéo nhau
2 góc đối đỉnh bằng nhau. Ghi:
Vertical $\angle$s are $\cong$ (P.12)
Hình có: Dính chung cạnh
Tự nó bằng chính nó. Ghi:
Reflexive Property
(T.C phản xạ)
Dạng 1: Đại Số Góc (Kề Bù & Thay Thế)
Given: Isosceles $\Delta ABC$ with $\overline{AB} \cong \overline{AC}$.
Prove: $\angle 1 \cong \angle 2$.
Lời khuyên của Thầy: Dạng này làm theo 3 bước logic:
- Bước 1: Từ tam giác cân, em suy ra 2 góc ở đáy (Góc B và Góc C) bằng nhau.
- Bước 2: Khẳng định góc 1 kề bù với góc B, góc 2 kề bù với góc C.
- Bước 3: Kết luận luôn góc 1 = góc 2. (Lý do: Hai góc cùng bù với hai góc bằng nhau thì tụi nó phải bằng nhau).
| # | Statements (Khẳng định) | Reasons (Lý do) |
|---|---|---|
| 1 |
Isosceles $\Delta ABC$ with $\overline{AB} \cong \overline{AC}$.
Viết gì: Chép toàn bộ giả thiết đề bài cho vào đây.
|
Given |
| 2 |
$\angle ABC \cong \angle ACB$.
Viết gì: Suy ra 2 góc ở đáy của tam giác cân bằng nhau.
|
Isosceles Triangle Theorem (T.1) |
| 3 |
$\angle ABC$ is sup. to $\angle 1$; $\angle ACB$ is sup. to $\angle 2$. Viết gì: Khẳng định kề bù.
|
If one line meets another line, the adj. $\angle$s formed are always sup. (P.9) |
| 4 |
$\therefore \angle 1 \cong \angle 2$.
Viết gì: Kết luận.
|
$\angle$s sup. to $\cong \angle$s are $\cong$ (P.11) |
Bài Tập Thực Hành (Dạng 1)
Đề bài: $\angle 6 \cong \angle 8$. Chứng minh $\angle 5 \cong \angle 2$. (Biết góc 5 kề bù góc 6; góc 2 kề bù góc 8)
| Statements | Reasons |
|---|---|
| 1. $\angle 6 \cong \angle 8$ | 1. Given. |
| 2. $\angle 5$ is sup. to $\angle 6$; $\angle 2$ is sup. to $\angle 8$. | 2. If one line meets another line, the adj. $\angle$s formed are always sup. (P.9) |
| 3. $\therefore \angle 5 \cong \angle 2$ | 3. $\angle$s sup. to $\cong \angle$s are $\cong$ (P.11) |
Dạng 2: Cộng Trừ Đoạn Thẳng (Page 37)
Given: $\overline{BC} \cong \overline{FD}$.
Prove: $\overline{BD} \cong \overline{FC}$.
Lời khuyên của Thầy: Dạng này bắt buộc làm 3 bước đệm:
- Bước 1: Cộng khúc chung. Ta lấy đoạn $BC$ và đoạn $FD$ cộng thêm khúc chung $CD$ vào đằng sau. (Tính chất cộng – Addition Property).
- Bước 2: Khẳng định tổng. Ghi rõ “Khúc $BC$ + Khúc $CD$ = Khúc dài $BD$”. (Định nghĩa điểm nằm giữa).
- Bước 3: Thế số. Thay các khúc dài vào phương trình ở Bước 1 là ra ngay kết quả. (Tính chất thế – Substitution).
| # | Statements (Khẳng định) | Reasons (Lý do) |
|---|---|---|
| 1 | $\overline{BC} \cong \overline{FD}$ | Given |
| 2 |
$BC = FD$
Viết gì: Bỏ dấu gạch ngang trên đầu và đổi $\cong$ thành $=$.
|
Def of $\cong$ segments |
| 3 |
$BC + CD = FD + DC$
Viết gì: Cộng thêm phần đoạn thẳng chung (CD) vào cả 2 bên.
|
Addition Property |
| 4 |
$BC + CD = BD$ $FD + DC = FC$ Viết gì: Khẳng định 2 khúc ngắn nối lại thành 1 khúc dài.
|
Def of betweenness of points |
| 5 |
$BD = FC$ $\therefore \overline{BD} \cong \overline{FC}$ Viết gì: Thế phương trình bước 4 vào bước 3 để ra kết quả.
|
Substitution Property Def of $\cong$ segments |
Bài Tập Thực Hành (Dạng 2)
Đề bài (Trang 18 – Proof 5): Cho $AB = CD$. Chứng minh $\overline{AC} \cong \overline{BD}$.
| Statements | Reasons |
|---|---|
| 1. $AB = CD$ | 1. Given. |
| 2. $AB + BC = CD + BC$ | 2. Addition Property. |
| 3. $AB + BC = AC;$ $BC + CD = BD.$ | 3. Def of betweenness of points. |
| 4. $\therefore \overline{AC} \cong \overline{BD}.$ | 4. Substitution Property & Def of $\cong$ segments. |
Dạng 3: Tam Giác Thường (ASA)
Given: $\overline{PT} \cong \overline{RT}$; $\angle P \cong \angle R$.
Prove: $\Delta PTQ \cong \Delta RTS$.
Lời khuyên của Thầy: Tìm đủ 3 yếu tố:
- Bước 1: Viết lại toàn bộ giả thiết. Ở đây đề đã cho sẵn 1 Cạnh và 1 Góc. Em cần tìm đúng 1 yếu tố nữa.
- Bước 2: Khai thác hình vẽ. Nhìn hình giống cái nơ (chữ X), em dùng ngay từ điển: Góc đối đỉnh bằng nhau (Vertical angles).
- Bước 3: Chốt hạ. Gom đủ 3 yếu tố: Góc – Cạnh xen giữa – Góc $\rightarrow$ Dùng định lý ASA.
| # | Statements (Khẳng định) | Reasons (Lý do) |
|---|---|---|
| 1 | $\overline{PT} \cong \overline{RT}$; $\angle P \cong \angle R$ | Given |
| 2 |
$\angle PTQ \cong \angle RTS$
Viết gì: Ghi tên 2 cái góc đối đỉnh đan chéo nhau vào.
|
Vert. $\angle$s are $\cong$ (P.12)
Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau.
|
| 3 |
$\therefore \Delta PTQ \cong \Delta RTS$
Viết gì: Chốt hạ 2 tam giác bằng nhau.
|
ASA Postulate (P.16)
Trường hợp Góc – Cạnh – Góc.
|
Bài Tập Thực Hành (Dạng 3)
Đề bài (Trang 13 – Proof 2): Điểm $D$ là trung điểm (midpoint) của $\overline{AB}$; Cho $\overline{AC} \cong \overline{BC}$.
Chứng minh $\Delta ACD \cong \Delta BCD$.
1. Đề cho Midpoint $\rightarrow$ Lấy ngay từ điển cứu hộ, suy ra 2 đoạn thẳng bằng nhau.
2. Đề cho $\overline{AC} \cong \overline{BC}$ (Cho sẵn 1 cạnh).
3. Hình dính chung cạnh $CD$ $\rightarrow$ Lấy từ điển cứu hộ, suy ra cạnh chung (Reflexive).
=> Đủ 3 Cạnh $\rightarrow$ Định lý SSS!
| Statements | Reasons |
|---|---|
| 1. D is the midpoint of $\overline{AB}$; $\overline{AC} \cong \overline{BC}$ | 1. Given. |
| 2. $\overline{AD} \cong \overline{BD}$ | 2. Def of midpoint. |
| 3. $\overline{CD} \cong \overline{CD}$ | 3. Reflexive Property. |
| 4. $\therefore \Delta ACD \cong \Delta BCD$ | 4. SSS Postulate (P.14) |
Dạng 4: Định Lý Tam Giác Cân
Given: $\overline{PQ}, \overline{PR}$ are legs of isosceles $\Delta PQR$; $\overline{PS} \perp \overline{QR}$.
Prove: $\Delta PSQ \cong \Delta PSR$.
Lời khuyên của Thầy: Khai thác giả thiết triệt để:
- Bước 1: Thấy chữ “legs” (cạnh bên của tam giác cân), em ghi ngay 2 cạnh đó bằng nhau.
- Bước 2: Vì 2 cạnh bằng nhau, áp dụng Định lý Tam giác cân để suy ra 2 góc ở đáy bằng nhau.
- Bước 3: Giải quyết ký hiệu $\perp$ bằng Combo tạo tam giác vuông, sau đó kết luận bằng định lý của tam giác vuông (ví dụ: Cạnh huyền – Góc nhọn).
| # | Statements (Khẳng định) | Reasons (Lý do) |
|---|---|---|
| 1 | … Given (Chép lại đề) | Given |
| 2 |
$\overline{PQ} \cong \overline{PR}$
Viết gì: Khẳng định 2 cạnh bên bằng nhau vì đề có chữ “legs”.
|
Def of isosceles $\Delta$ |
| 3 |
$\angle Q \cong \angle R$
Viết gì: Suy ra 2 góc ở đáy bằng nhau.
|
Isosceles Triangle Theorem (T.1) |
| 4 |
$\angle PSQ$ and $\angle PSR$ are rt. $\angle$s. $\Delta PSQ$ and $\Delta PSR$ are rt. $\Delta$s. Viết gì: Thấy ký hiệu $\perp$, viết ngay 2 dòng chứng minh tam giác vuông (Combo $\perp$).
|
Def of $\perp$ lines. Def of rt. $\Delta$s. |
| 5 |
$\therefore \Delta PSQ \cong \Delta PSR$
Viết gì: Chốt tam giác bằng nhau.
|
HA Theorem (T.4)
Đã có Cạnh huyền (Hypotenuse) ở Bước 2 và Góc nhọn (Angle) ở Bước 3.
|
Bài Tập Thực Hành (Dạng 4)
Đề bài (Trang 26 – Proof 11): Cho $\overline{AB} \cong \overline{AE}$; $\overline{BC} \cong \overline{ED}$.
Chứng minh $\Delta ABC \cong \Delta AED$. (Biết góc B và góc E là 2 góc đáy của tam giác cân ABE)
| Statements | Reasons |
|---|---|
| 1. $\overline{AB} \cong \overline{AE}$; $\overline{BC} \cong \overline{ED}$ | 1. Given. |
| 2. $\angle B \cong \angle E$ | 2. Isosceles Triangle Theorem (T.1) |
| 3. $\therefore \Delta ABC \cong \Delta AED$ | 3. SAS Postulate (P.15) |
Dạng 5: Tam Giác Vuông (LL/HL/HA/LA)
Given: $\overline{AB} \perp \overline{BD}$; $\overline{CD} \perp \overline{BD}$; O is midpoint of $\overline{BD}$; $\overline{AB} \cong \overline{CD}$.
Prove: $\Delta ABO \cong \Delta CDO$.
Lời khuyên của Thầy: Lỗi sai kinh điển nằm ở đây!
- Đề mới cho vuông góc ($\perp$), chứ chưa xác nhận đây là tam giác vuông. Cấm dùng định lý LL, HL ngay!
- Bước 1: Từ vuông góc, suy ra 2 góc vuông.
- Bước 2: Từ 2 góc vuông, tuyên bố đây là 2 tam giác vuông.
- Bước 3: Bây giờ mới được dùng các định lý của tam giác vuông (LL, HL, HA, LA) để chốt.
| # | Statements (Khẳng định) | Reasons (Lý do) |
|---|---|---|
| 1 |
$\overline{AB} \perp \overline{BD}$; $\overline{CD} \perp \overline{BD}$…
Viết gì: Chép giả thiết.
|
Given |
| 2 |
$\angle B, \angle D$ are rt. $\angle$s
Viết gì: Từ $\perp$, khẳng định tạo ra 2 góc vuông.
|
Def of $\perp$ lines
Định nghĩa đường vuông góc tạo ra góc vuông.
|
| 3 |
$\Delta ABO, \Delta CDO$ are rt. $\Delta$s
Viết gì: Có góc vuông thì khẳng định đây là tam giác vuông.
|
Def of rt. $\Delta$s
Định nghĩa tam giác vuông.
|
| 4 |
$\overline{BO} \cong \overline{DO}$ (từ midpoint) $\therefore \Delta ABO \cong \Delta CDO$ Viết gì: Lấy cạnh do trung điểm tạo ra ghép với cạnh giả thiết, chốt hạ tam giác bằng nhau.
|
Def of midpoint. LL Theorem (T.2) Đã có đủ 2 Cạnh góc vuông (Leg – Leg).
|
Bài Tập Thực Hành (Dạng 5)
Đề bài (Trang 28 – Proof 7): $\angle ADC$ and $\angle BDC$ are right angles; $\overline{AD} \cong \overline{BD}$.
Chứng minh $\Delta ADC \cong \Delta BDC$.
| Statements | Reasons |
|---|---|
| 1. $\angle ADC$ and $\angle BDC$ are right angles; $\overline{AD} \cong \overline{BD}$ | 1. Given. |
| 2. $\Delta ADC$ and $\Delta BDC$ are rt. $\Delta$s | 2. Def of rt. $\Delta$s. |
| 3. $\overline{CD} \cong \overline{CD}$ | 3. Reflexive Property. |
| 4. $\therefore \Delta ADC \cong \Delta BDC$ | 4. LL Theorem. (T. 2) |
Dạng 6: Cầu Nối CPCTC
Given: $\Delta ABC, \Delta DEF$ are rt. $\Delta$s; $\overline{AB} \cong \overline{DE}$; $\overline{BC} \cong \overline{EF}$.
Prove: $\angle C \cong \angle F$.
Lời khuyên của Thầy: Dạng này đích đến không phải là tam giác.
- Bước 1: Đề bắt chứng minh 2 góc/cạnh bằng nhau. Trước hết em phải tìm và chứng minh 2 tam giác chứa chúng bằng nhau đã (như các ví dụ trước).
- Bước 2: Một khi 2 tam giác đã bằng nhau, em chỉ việc bưng 2 góc/cạnh kia ra và ghi lý do là CPCTC. Xong!
| # | Statements (Khẳng định) | Reasons (Lý do) |
|---|---|---|
| 1 | … (Chép lại đề) | Given |
| 2 |
$\Delta ABC \cong \Delta DEF$
Viết gì: Đưa ra kết luận 2 tam giác bằng nhau trước.
|
LL Theorem (T.2)
Đã có 2 cặp cạnh góc vuông bằng nhau từ giả thiết.
|
| 3 |
$\therefore \angle C \cong \angle F$
Viết gì: Khẳng định 2 góc cần chứng minh là bằng nhau.
|
CPCTC (P.18)
Các phần tương ứng của $\Delta$ bằng nhau thì bằng nhau.
|
Bài Tập Thực Hành (Dạng 6)
Đề bài (Trang 28 – Proof 4): $\Delta ABC$ and $\Delta DEF$ are right triangles; $\overline{AB} \cong \overline{DE}$; $\overline{BC} \cong \overline{EF}$.
Chứng minh $\angle C \cong \angle F$.
| Statements | Reasons |
|---|---|
| 1. $\Delta ABC$ and $\Delta DEF$ are right triangles; $\overline{AB} \cong \overline{DE}$; $\overline{BC} \cong \overline{EF}$ | 1. Given. |
| 2. $\therefore \Delta ABC \cong \Delta DEF$ | 2. LL Theorem. (T. 2) |
| 3. $\therefore \angle C \cong \angle F$ | 3. CPCTC. (P. 18) |
Dạng 7: Đặc Biệt (Trung điểm, Phân giác)
Dữ liệu tóm tắt: Phần này lấy bối cảnh em đã chứng minh xong 2 tam giác bằng nhau ($\Delta ADC \cong \Delta BDC$) ở các bước trên.
Prove: D is the midpoint of $\overline{AB}$.
Lời khuyên của Thầy: Dạng này nối tiếp trực tiếp từ Dạng 6:
- Bước 1: Kế thừa việc 2 tam giác đã bằng nhau, em dùng ngay CPCTC để khẳng định 2 đoạn thẳng ($AD$ và $BD$) bằng nhau.
- Bước 2: Khẳng định tính chất. Vì 2 đoạn thẳng đó bằng nhau, điểm $D$ chia đôi đáy sẽ chính thức được định nghĩa là Trung điểm (Midpoint).
| # | Statements (Khẳng định) | Reasons (Lý do) |
|---|---|---|
| 1 |
$\Delta ADC \cong \Delta BDC$
Viết gì: Lấy kết quả “2 tam giác bằng nhau” em vừa chứng minh ở dòng ngay trên ghi lại.
(Không dùng chữ Given ở đây nhé!) |
(Ghi lại Định lý vừa dùng)
Ví dụ: LA Theorem, SSS, SAS…
|
| 2 |
$\overline{AD} \cong \overline{BD}$
Viết gì: Lôi 2 cạnh đáy nhỏ tương ứng ra cho chúng bằng nhau.
|
CPCTC (P.18)
Vì 2 tam giác chứa chúng đã bằng nhau.
|
| 3 |
$\therefore$ D is the midpoint of $\overline{AB}$.
Viết gì: Kết luận tính chất cho điểm D.
|
Def of midpoint
Định nghĩa: Điểm chia đoạn thẳng làm 2 phần bằng nhau là trung điểm.
|
Bài Tập Thực Hành (Dạng 7)
Đề bài (Trang 30 – Proof 7): Cho biết em đã chứng minh được $\Delta ADB \cong \Delta ADC$ ở bước trước đó.
Hãy chứng minh: $\overline{AD}$ bisects $\angle BAC$ (Tức là đường thẳng AD chia đôi góc BAC).
| Statements | Reasons |
|---|---|
| 1. $\Delta ADB \cong \Delta ADC$ | 1. (Kế thừa từ bước trước, VD: LA Theorem) |
| 2. $\angle BAD \cong \angle CAD$ | 2. CPCTC. (P. 18) |
| 3. $\therefore \overline{AD}$ bisects $\angle BAC$. | 3. Definition of bisector of an $\angle$. |
Dạng 8: Ma Trận Chồng Lấp (Page 38)
Given: $\overline{AC} \cong \overline{AE}$; $\overline{AB} \cong \overline{AD}$.
Prove: $\Delta ABE \cong \Delta ADC$.
Lời khuyên của Thầy: Bài này hình đan chéo rất dễ nhìn nhầm, hãy làm theo các bước:
- Bước 1: Vẽ tách rời hoặc viền đậm 2 tam giác cần chứng minh để thấy rõ chúng có những cạnh nào. (Ở đây đề đã cho sẵn 2 cặp cạnh bằng nhau).
- Bước 2: Tìm phần bị chồng lấp! Nhìn lên cái đỉnh, cả 2 tam giác này đều dùng chung Góc A. Ghi ngay Góc A = Góc A bằng tính chất Phản xạ (Reflexive).
- Bước 3: Gom đủ Cạnh – Góc xen giữa – Cạnh $\rightarrow$ Kết luận bằng SAS.
| # | Statements (Khẳng định) | Reasons (Lý do) |
|---|---|---|
| 1 |
$\overline{AC} \cong \overline{AE}$; $\overline{AB} \cong \overline{AD}$
Viết gì: Chép giả thiết 2 cặp cạnh bằng nhau.
|
Given |
| 2 |
$\angle A \cong \angle A$
Viết gì: Nhìn hình thấy 2 tam giác đan vào nhau cùng xài chung đỉnh A, nên khẳng định góc A bằng chính nó.
|
Reflexive Property
Tính chất phản xạ (Góc/Cạnh dùng chung).
|
| 3 |
$\therefore \Delta ABE \cong \Delta ADC$
Viết gì: Chốt hạ tam giác bằng nhau.
|
SAS Postulate (P.15)
Đã có đủ Cạnh – Góc xen giữa – Cạnh.
|
Bài Tập Thực Hành (Dạng 8)
Đề bài (Trang 41 – Proof 3): Cho $\overline{AB} \cong \overline{CD}$; $\overline{AD} \cong \overline{CB}$.
Chứng minh $\Delta ABD \cong \Delta CDB$. (Biết ABCD tạo thành một hình bình hành có đường chéo là BD)
| Statements | Reasons |
|---|---|
| 1. $\overline{AB} \cong \overline{CD}$; $\overline{AD} \cong \overline{CB}$ | 1. Given. |
| 2. $\overline{BD} \cong \overline{BD}$ | 2. Reflexive Property. |
| 3. $\therefore \Delta ABD \cong \Delta CDB$ | 3. SSS Postulate (P. 14) |
GEOMETRY 1110 TEST (Self Test)
PART I: LOGIC AND REASONING (3 points each)
Fill in the blank with the correct type of reasoning (Inductive or Deductive):
1. The process of developing a general principle from accepted, particular facts is called reasoning.
2. The process of determining a specific statement from more general statements that are accepted as true is called reasoning.
Based on the given premises, write the logical conclusion:
3. Premise 1: If a person is a Senator, they may run for President.
Premise 2: Phil Gramm is a Senator.
$\rightarrow$ Conclusion: .
Set up a 3-step general syllogism to prove that “Rover has four legs”:
4. Major premise: .
5. Minor premise: .
6. Conclusion: .
Complete the following conditional sentence:
7. We will go on a picnic, .
Write a complete 3-step syllogism to prove that “Rover barks”:
8. a. (Major premise)
b. (Minor premise)
c. (Conclusion)
PART II: GEOMETRY VOCABULARY (3 points each)
Fill in the correct geometric term:
9. Two figures that have the same size and shape are said to be .
10. A line, ray, or line segment that intersects a line segment at its midpoint, dividing it into two congruent parts is a .
11. The side opposite the right angle in a right triangle is the .
12. The algebraic property that allows you to change the order of numbers being added or multiplied ($a+b=b+a$) is the Property.
13. A logical statement that has been proved to be true is a .
14. A triangle having three congruent sides or three congruent angles is an triangle.
15. Two angles whose measures have a sum of $180^\circ$ are angles.
16. A triangle with one 90-degree angle is a triangle.
17. To separate a geometric figure into two congruent parts is to it.
18. The rule of deduction that connects sequential conditional statements (e.g., if $a \rightarrow b$ and $b \rightarrow c$, then $a \rightarrow c$) is the rule.
PART III: TRIANGLE CONGRUENCE THEOREMS (3 points each)
Complete the statement for each theorem:
19. State the CPCTC rule: .
20. LL Theorem: If two legs of one right triangle , then the two triangles are congruent.
21. LA Theorem: If a leg and an acute angle of one right triangle , then the two triangles are congruent.
PART IV: TWO-COLUMN PROOFS
(Please draw the figure and set up Statements and Reasons for each proof)
Proof 22 (Proving an Angle Bisector)
Given: $\overline{DF} \cong \overline{EF}$; $\overline{DF} \perp \overline{AB}$; $\overline{EF} \perp \overline{BC}$.
Prove: $\overline{BF}$ bisects $\angle ABC$.
Gợi ý tư duy từng bước cho Câu 22:
- Bài này đề cho góc vuông ($\perp$) -> Hãy dùng Combo tạo Tam Giác Vuông (Định nghĩa 2 đường vuông góc tạo ra góc vuông -> Từ đó khẳng định đó là 2 tam giác vuông).
- Quan sát cạnh chung $BF$. Hai tam giác chung cạnh $BF$ thì mình dùng tính chất gì? (Phản xạ – Reflexive). Cạnh chung này chính là Cạnh Huyền (Hypotenuse).
- Đề đã cho sẵn cạnh $DF = EF$ là 2 cạnh góc vuông (Legs). Có Cạnh Huyền + Cạnh Góc Vuông -> Dùng định lý HL Theorem để chốt 2 tam giác bằng nhau.
- Dùng CPCTC để kéo 2 góc tương ứng bằng nhau (Góc $DBF \cong EBF$).
- Hai góc bằng nhau thì suy ra đường $BF$ ở giữa làm nhiệm vụ gì? (Phân giác – Def of bisector).
| # | Statements | Reasons |
|---|---|---|
| 1 | $\overline{DF} \cong \overline{EF}$; $\overline{DF} \perp \overline{AB}$; $\overline{EF} \perp \overline{BC}$ | 1. Given. |
| 2 | $\angle BDF$ and $\angle BEF$ are rt. $\angle$s | 2. Def. of $\perp$ lines. |
| 3 | $\Delta BDF$ and $\Delta BEF$ are rt. $\Delta$s | 3. Def. of rt. $\Delta$s. |
| 4 | $\overline{BF} \cong \overline{BF}$ | 4. Reflexive Property. |
| 5 | $\Delta BDF \cong \Delta BEF$ | 5. HL Theorem. |
| 6 | $\angle DBF \cong \angle EBF$ | 6. CPCTC. |
| 7 | $\therefore \overline{BF}$ bisects $\angle ABC$ | 7. Def. of bisector. |
Proof 23 (Proving Angles Congruent)
Given: $\angle 1 \cong \angle 4$; $\angle 1$ and $\angle 2$ are vertical angles; $\angle 3$ and $\angle 4$ are vertical angles.
Prove: $\angle 2 \cong \angle 3$.
Gợi ý tư duy từng bước cho Câu 23:
- Bài này hoàn toàn là về Đại số Góc (giống Dạng 1), không liên quan đến tam giác.
- Đề đã nói rõ $\angle 1$ và $\angle 2$ là góc đối đỉnh (vertical angles) -> Suy ra luôn $\angle 1 \cong \angle 2$. Tương tự với góc 3 và 4 -> $\angle 3 \cong \angle 4$.
- Đề đã cho sẵn chìa khóa gốc: $\angle 1 \cong \angle 4$. Em chỉ cần cầm góc 2 thả vào vị trí của góc 1, cầm góc 3 thả vào vị trí của góc 4 là ra đáp án. Kỹ thuật này gọi là Tính chất Thế (Substitution Property).
| # | Statements | Reasons |
|---|---|---|
| 1 | $\angle 1 \cong \angle 4$; $\angle 1$ & $\angle 2$ are vert. $\angle$s; $\angle 3$ & $\angle 4$ are vert. $\angle$s | 1. Given. |
| 2 | $\angle 1 \cong \angle 2$; $\angle 3 \cong \angle 4$ | 2. Vertical $\angle$s are $\cong$. |
| 3 | $\therefore \angle 2 \cong \angle 3$ | 3. Substitution Property. |
Proof 24 (Proving Congruent Triangles)
Given: $\overline{BD}$ bisects $\angle ABC$ and $\angle ADC$.
Prove: $\triangle ABD \cong \triangle CBD$.
Gợi ý tư duy từng bước cho Câu 24:
- Thấy chữ “bisects” (phân giác) $\rightarrow$ Lấy ngay Từ điển ra dùng: Tia phân giác chia đôi góc. Tức là ta sẽ có Góc ABD = Góc CBD, và Góc ADB = Góc CDB (2 cặp góc).
- Nhìn 2 tam giác dính nhau ở bức tường nào? Chính là đoạn $BD$. Dùng tính chất gì để khẳng định nó bằng chính nó? (Reflexive Property).
- Xong! Ta có Góc – Cạnh xen giữa – Góc $\rightarrow$ Định lý ASA Postulate.
| # | Statements | Reasons |
|---|---|---|
| 1 | $\overline{BD}$ bisects $\angle ABC$ and $\angle ADC$ | 1. Given. |
| 2 | $\angle ABD \cong \angle CBD$; $\angle ADB \cong \angle CDB$ | 2. Def. of bisector of an $\angle$. |
| 3 | $\overline{BD} \cong \overline{BD}$ | 3. Reflexive Property. |
| 4 | $\therefore \triangle ABD \cong \triangle CBD$ | 4. ASA Postulate. |
