Cẩm Nang Chinh Phục Hình Học 1111
Hệ thống bài giảng, Lý thuyết & Kho bài tập khổng lồ
Từ Điển Cứu Hộ PACE 1111 (Nhìn đề là biết viết gì)
$\parallel$ (Song song) + Chữ Z
Đường chéo tạo góc so le trong. Ghi ngay:
Alt. int. $\angle$s are $\cong$ (T.9)
(Góc so le trong thì bằng nhau)
$\parallel$ (Song song) + Chữ C
Hai góc kẹp trong cùng phía. Ghi ngay:
Int. $\angle$s on same side are sup. (T.12)
(Trong cùng phía bù nhau = $180^\circ$)
Tam Giác Cân (Isosceles)
Có 2 cạnh bằng nhau. Ghi ngay:
Isosceles Triangle Theorem (T.1)
(Hai góc ở đáy sẽ bằng nhau)
Góc nằm trên đường thẳng
Hai góc đứng cạnh nhau. Ghi ngay:
Adj. $\angle$s formed are sup. (P.9)
(Hai góc kề bù cộng lại = $180^\circ$)
TỔNG HỢP LÝ THUYẾT – MATH 1111
Theorem 19:
The sum of the measures of the angles of a triangle is 180.
Tổng 3 góc của một tam giác luôn bằng 180°.
Corollary I:
If a $\triangle$ is a right $\triangle$, then the acute $\angle$s are complementary.
Trong tam giác vuông, 2 góc nhọn luôn phụ nhau (tổng = 90°).
Corollary III:
If two $\angle$s of one $\triangle$ are $\cong$ to two $\angle$s of another $\triangle$, then the remaining $\angle$s are $\cong$.
Nếu 2 góc của tam giác này bằng 2 góc của tam giác kia, thì góc thứ 3 cũng bằng nhau.
Corollary IV:
The measure of each $\angle$ of an equilateral $\triangle$ is 60.
Mỗi góc của một tam giác đều luôn bằng đúng 60°.
Theorem 20:
The measure of an exterior $\angle$ of a $\triangle$ is equal to the sum of the measures of the two remote interior $\angle$s.
Góc ngoài của tam giác bằng tổng 2 góc trong không kề với nó.
Theorem 21:
If two angles of a triangle are congruent, then the sides opposite those angles are congruent.
Định lý đảo: Nếu 2 góc bằng nhau $\rightarrow$ 2 cạnh đối diện nó bằng nhau (Tam giác cân).
Corollary of Theorem 21:
An equiangular triangle is also equilateral.
Một tam giác có 3 góc bằng nhau thì nó cũng là tam giác đều (3 cạnh bằng nhau).
Các định lý này khẳng định những gì ta CÓ THỂ vẽ được bằng compa và thước.
Theorem 22 & 23:
A line segment / an angle can be constructed congruent to a given segment / angle.
Có thể dựng đoạn thẳng/góc mới bằng hệt đoạn thẳng/góc cho trước.
Theorem 24:
An angle can be bisected.
Mọi góc đều có thể bị chia đôi (luôn kẻ được tia phân giác).
Theorem 25 & 26:
A perpendicular to a line can be constructed at any point on the line / from any point not on the line.
Luôn kẻ được đường vuông góc từ một điểm bất kỳ (dù nằm trên hay nằm ngoài đường thẳng đó).
Theorem 27:
The perpendicular bisector of a line segment can be constructed.
Luôn dựng được đường trung trực của bất kỳ đoạn thẳng nào.
Theorem 28:
A line can be constructed parallel to a line through a given point not on the line.
Từ 1 điểm nằm ngoài, luôn kẻ được đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.
Proof 4 (Trang 6) – Từ Vuông Góc Suy Ra Song Song
Given: $\angle B$ is a right angle; $\overline{AB} \parallel \overline{DE}$.
Prove: $\triangle DEC$ is a right triangle.
Hướng Dẫn Tư Duy Từng Bước:
- Bước 1: Viết lại những gì đề bài cho sẵn để lấy điểm phần này.
- Bước 2: Góc $B$ vuông ($90^\circ$) nghĩa là cạnh $BC$ vuông góc với cạnh $AB$.
- Bước 3 (Bước chốt hạ): Cạnh $BC$ giống như thanh gỗ đặt vắt ngang 2 đường ray song song ($AB$ và $DE$). Nếu nó vuông góc với đường ray thứ nhất, nó cũng phải vuông góc với đường ray thứ hai. Vậy $BC \perp DE$.
- Bước 4: Vì $BC \perp DE$, góc tạo bởi chúng ($\angle DEC$) bắt buộc phải là góc vuông.
- Bước 5: Tam giác chứa góc vuông thì gọi là “Tam giác vuông” (Right triangle). Xong!
| # | Statements (Khẳng định) | Reasons (Lý do) |
|---|---|---|
| 1 | $\angle B$ is a right angle; $\overline{AB} \parallel \overline{DE}$. |
Given.
Đề bài cho sẵn.
|
| 2 | $\overline{BC} \perp \overline{AB}$. |
Definition of $\perp$ lines.
Định nghĩa hai đường thẳng vuông góc tạo ra góc vuông.
|
| 3 | $\overline{BC} \perp \overline{DE}$. |
If a line is $\perp$ to one of two $\parallel$ lines, then it is $\perp$ to the other also. (T.8)
Định lý 8: Nếu một đường vuông góc với 1 trong 2 đường song song thì nó cũng vuông góc với đường còn lại.
|
| 4 | $\angle DEC$ is a rt. $\angle$. |
Definition of $\perp$ lines.
Định nghĩa đường thẳng vuông góc tạo ra góc vuông.
|
| 5 | $\therefore \triangle DEC$ is a right triangle. |
Definition of rt. $\triangle$.
Định nghĩa tam giác có một góc vuông là tam giác vuông.
|
Bài Tập Tự Luyện 1 (Proof 5, Trang 6)
Đề bài: Cho $\overline{DE} \perp \overline{BE}$; $m\angle B = 90^\circ$. Chứng minh $\overline{AB} \parallel \overline{DE}$.
| Statements | Reasons |
|---|---|
| 1. $\overline{DE} \perp \overline{BE}$; $m\angle B = 90$. | 1. Given. Giả thiết. |
| 2. $\angle B$ is a rt. $\angle$. | 2. Definition of rt. $\angle$. Định nghĩa góc vuông. |
| 3. $\overline{AB} \perp \overline{BE}$. | 3. Definition of $\perp$ lines. Định nghĩa đường thẳng vuông góc. |
| 4. $\therefore \overline{AB} \parallel \overline{DE}$. | 4. If two lines in a plane are each $\perp$ to a third line, then they are $\parallel$ to each other. (T.7) Định lý 7: Hai đường cùng vuông góc với đường thứ 3 thì song song nhau. |
Proof 1 (Trang 9) – Cát Tuyến & Góc Đồng Vị
Given: Transversal $t$ intersects lines $m$ and $n$; $m \parallel n$.
Prove: $\angle 1 \cong \angle 2$.
Cách xây dựng bắc cầu logic:
– Bước 1: Hãy nhìn vào chỗ đường $t$ cắt đường $m$. Góc 1 và Góc 3 nằm đối diện nhau qua dấu X (như hai lưỡi kéo) $\rightarrow$ Góc đối đỉnh thì bằng nhau.
– Bước 2: Nhìn vào khoảng giữa 2 đường song song. Góc 3 và góc 2 tạo thành hình chữ Z $\rightarrow$ Góc so le trong (Alternate interior angles) thì bằng nhau.
– Bước 3 (Bắc cầu): Bạn 1 cao bằng bạn 3. Bạn 3 cao bằng bạn 2. Suy ra bạn 1 cao bằng bạn 2. Xong!
| # | Statements (Khẳng định) | Reasons (Lý do) |
|---|---|---|
| 1 | Transversal $t$ intersects lines $m$ and $n$; $m \parallel n$. |
Given.
Giả thiết.
|
| 2 | $\angle 1 \cong \angle 3$. |
Vert. $\angle$s are $\dots$ (P.12)
Định lý 12: Các góc đối đỉnh thì bằng nhau.
|
| 3 | $\angle 3 \cong \angle 2$. |
If a trans. intersects two $\parallel$ lines, then the alt. int. $\angle$s are $\dots$ (T.9)
Định lý 9: Hai góc so le trong của 2 đường song song thì bằng nhau.
|
| 4 | $\therefore \angle 1 \cong \angle 2$. |
Transitive Property.
Tính chất bắc cầu: Nếu A=B và B=C thì A=C.
|
Bài Tập Tự Luyện 1 (Trang 9, Proof 2)
Đề bài: Cho hình bình hành có các cạnh đối diện song song: $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ và $\overline{AD} \parallel \overline{BC}$. Có đường chéo $AC$. Chứng minh $\triangle ABC \cong \triangle CDA$.
| Statements | Reasons |
|---|---|
| 1. $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$; $\overline{AD} \parallel \overline{BC}$. | 1. Given. Giả thiết. |
| 2. $\overline{AC} \cong \overline{AC}$. | 2. Reflexive Property. Tính chất phản xạ (Cạnh chung). |
| 3. $\angle 1 \cong \angle 3$; $\angle 2 \cong \angle 4$. (Góc so le) | 3. If a trans. intersects two $\parallel$ lines, then the alt. int. $\angle$s are $\cong$. (T.9) Định lý 9: Góc so le trong. |
| 4. $\therefore \triangle ABC \cong \triangle CDA$. | 4. ASA Postulate. (P.16) Góc – Cạnh xen giữa – Góc. |
Bài Tập Tự Luyện 2 (Trang 9, Proof 3)
Đề bài: Cho tia $EC$ là tia phân giác (bisects) của $\angle BEF$; Đường thẳng $BC \parallel EF$. Chứng minh $\angle BEC \cong \angle BCE$.
| Statements | Reasons |
|---|---|
| 1. $EC$ bisects $\angle BEF$; $BC \parallel EF$. | 1. Given. Giả thiết. |
| 2. $\angle BCE \cong \angle FEC$. | 2. If a trans. intersects two $\parallel$ lines, then the alt. int. $\angle$s are $\cong$. Góc so le trong. |
| 3. $\angle BEC \cong \angle FEC$. | 3. Definition of bisector of an $\angle$. Định nghĩa tia phân giác. |
| 4. $\therefore \angle BEC \cong \angle BCE$. | 4. Transitive / Substitution Property. Tính chất bắc cầu/thay thế. |
Bài Tập Tự Luyện 3 (Trang 11, Proof 1)
Đề bài: Cát tuyến $t$ cắt đường thẳng $m$ và $n$; $m \parallel n$. Chứng minh $\angle 1 \cong \angle 7$ (Góc 1 và 7 nằm lơ lửng ngoài cùng bến chéo, gọi là so le ngoài).
| Statements | Reasons |
|---|---|
| 1. Transversal $t$ intersects $m, n$; $m \parallel n$. | 1. Given. Giả thiết. |
| 2. $\angle 3 \cong \angle 5$. | 2. Alt. int. $\angle$s are $\cong$ when lines are $\parallel$. (T.9) Góc so le trong. |
| 3. $\angle 1 \cong \angle 3$; $\angle 5 \cong \angle 7$. | 3. Vert. $\angle$s are $\cong$. Góc đối đỉnh. |
| 4. $\therefore \angle 1 \cong \angle 7$. | 4. Substitution Property. Tính chất thay thế. |
Proof 4 (Trang 10) – Góc Ngoài và Phân Giác
Given: $\triangle ABC$ with $\overline{AC} \cong \overline{BC}$; $\overline{AB} \parallel \overline{CE}$.
Prove: $\overline{CE}$ bisects $\angle BCD$.
Chuỗi suy luận 4 nấc:
1. Tam giác cân $\rightarrow$ Góc A = Góc B.
2. Song song $\rightarrow$ Góc A = Góc 1 (đồng vị); Góc B = Góc 2 (so le trong).
3. Suy ra Góc 1 = Góc 2 (tính chất thế).
4. Hai góc con bằng nhau suy ra tia ở giữa là phân giác (bisector).
| # | Statements (Khẳng định) | Reasons (Lý do) |
|---|---|---|
| 1 | $\triangle ABC$ with $\overline{AC} \cong \overline{BC}$; $\overline{AB} \parallel \overline{CE}$. |
Given.
Giả thiết.
|
| 2 | $\angle A \cong \angle B$. |
Isosceles Triangle Theorem. (T.1)
Định lý Tam giác cân (2 cạnh bằng nhau thì 2 góc đáy bằng nhau).
|
| 3 | $\angle A \cong \angle 1$. |
If a trans. intersects two $\parallel$ lines, then the corresponding $\angle$s are $\dots$ (T.10)
Định lý 10: Góc đồng vị của 2 đường song song thì bằng nhau.
|
| 4 | $\angle B \cong \angle 2$. |
If a trans. intersects two $\parallel$ lines, then the alt. int. $\angle$s are $\dots$ (T.9)
Định lý 9: Góc so le trong của 2 đường song song thì bằng nhau.
|
| 5 | $\angle 1 \cong \angle 2$. |
Substitution Property.
Tính chất thay thế.
|
| 6 | $\therefore \overline{CE}$ bisects $\angle BCD$. |
Definition of bisector of an $\angle$.
Định nghĩa tia phân giác.
|
Proof 10 (Trang 13) – Khai Thác Cát Tuyến Phức Tạp
Given: $a \parallel b$; $c \parallel d$.
Prove: $m\angle 5 + m\angle 2 = 180^\circ$.
Góc kề và bù nhau (Supplementary):
– Bước 1: Chỉ ra Góc 5 kề bù với Góc 4 vì chúng là 2 góc trong cùng một phía của đường cắt (interior angles on the same side).
– Bước 2: Thế Góc 4 bằng Góc 2 vì chúng ở vị trí đồng vị bằng nhau.
– Bước 3: Thay thế là ra ngay phép cộng bằng $180^\circ$.
| # | Statements (Khẳng định) | Reasons (Lý do) |
|---|---|---|
| 1 | $a \parallel b$; $c \parallel d$. |
Given.
Giả thiết.
|
| 2 | $\angle 5$ is supplementary to $\angle 4$. |
If a trans. intersects two $\parallel$ lines, then the int. $\angle$s on the same side are sup. (T.12)
Định lý 12: Hai góc trong cùng phía thì bù nhau.
|
| 3 | $\angle 4 \cong \angle 2$. |
If a trans. intersects two $\parallel$ lines, then the corresponding $\angle$s are $\cong$. (T.10)
Định lý 10: Hai góc đồng vị thì bằng nhau.
|
| 4 | $\angle 5$ is supplementary to $\angle 2$. |
Substitution Property.
Tính chất thay thế.
|
| 5 | $\therefore m\angle 5 + m\angle 2 = 180^\circ$. |
Definition of supplementary $\angle$s.
Định nghĩa hai góc bù nhau.
|
Bài Tập Tự Luyện 1 (Trang 20, Proof 2)
Đề bài: Cát tuyến $t$ cắt 2 đường thẳng $m$ và $n$; Góc 1 bù (supplementary) Góc 2. Chứng minh $m \parallel n$.
| Statements | Reasons |
|---|---|
| 1. Transversal $t$ intersects $m$ and $n$; $\angle 1$ sup. $\angle 2$. | 1. Given. Giả thiết. |
| 2. $\angle 1$ is sup. to $\angle 3$. | 2. If one line meets another line, the adj. $\angle$s formed are always sup. (P. 9) Hai góc kề bù trên đường thẳng. |
| 3. $\angle 2 \cong \angle 3$. | 3. $\angle$s that are sup. of the same $\angle$ are $\cong$. (P. 11) Cùng bù với 1 góc thì bằng nhau. |
| 4. $\therefore m \parallel n$. | 4. If a trans. intersects two lines so alt. int. $\angle$s are $\cong$, lines are $\parallel$. (T. 13) Định lý 13: Góc so le trong bằng nhau thì song song. |
Proof 13 (Trang 15) – Hệ Thống Góc Vuông Liên Hoàn
Given: $\overline{AB} \perp \overline{BC}$; $\overline{AB} \perp \overline{AD}$; $\overline{DC} \perp \overline{BC}$; $\overline{DC} \perp \overline{AD}$.
Prove: $\triangle ADB \cong \triangle CBD$.
Bí quyết xử lý hệ vuông góc:
– Bước 1: Từ các đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba, suy ra các cặp cạnh song song ($AB \parallel CD$ và $AD \parallel BC$).
– Bước 2: Từ song song, tìm 2 chữ Z để có các cặp góc so le trong bằng nhau.
– Bước 3: Tìm cạnh chung $BD$ (Reflexive Property).
– Bước 4: Chốt hạ bằng ASA.
| # | Statements (Khẳng định) | Reasons (Lý do) |
|---|---|---|
| 1 | $\overline{AB} \perp \overline{BC}$; $\overline{AB} \perp \overline{AD}$; $\overline{DC} \perp \overline{BC}$; $\overline{DC} \perp \overline{AD}$. |
Given.
Giả thiết.
|
| 2 | $\overline{AB} \parallel \overline{DC}$; $\overline{AD} \parallel \overline{BC}$. |
If two lines in a plane are each $\perp$ to a third line, then they are $\parallel$ to each other. (T.7)
Định lý 7: Hai đường cùng vuông góc với đường thứ ba thì song song.
|
| 3 | $\angle ADB \cong \angle CBD$; $\angle ABD \cong \angle CDB$. |
If a trans. intersects two $\parallel$ lines, then the alt. int. $\angle$s are $\dots$ (T.9)
Định lý 9: Hai góc so le trong thì bằng nhau.
|
| 4 | $\overline{BD} \cong \overline{BD}$. |
Reflexive Property.
Tính chất phản xạ.
|
| 5 | $\therefore \triangle ADB \cong \triangle CBD$. |
ASA Postulate.
Góc – Cạnh – Góc.
|
Proof 6 (Trang 19) – Trung Điểm & Cắt Đôi Đoạn Thẳng
Given: $\overline{AC}$ bisects $\overline{BD}$; $X$ is the midpoint of $\overline{AC}$.
Prove: $\overline{AD} \parallel \overline{BC}$.
Định hướng suy luận song song:
– Bước 1: Sử dụng giả thiết “bisect” và “midpoint” để chứng minh các cạnh tương ứng bằng nhau ($BX = DX$, $AX = CX$).
– Bước 2: Chỉ ra góc đối đỉnh bằng nhau ở tâm X.
– Bước 3: Chứng minh hai tam giác bằng nhau bằng SAS.
– Bước 4: Dùng CPCTC suy ra góc so le trong bằng nhau, từ đó chốt song song.
| # | Statements (Khẳng định) | Reasons (Lý do) |
|---|---|---|
| 1 | $\overline{AC}$ bisects $\overline{BD}$; $X$ is the midpoint of $\overline{AC}$. |
Given.
Giả thiết.
|
| 2 | $\overline{BX} \cong \overline{DX}$. |
Definition of bisector of a line segment.
Định nghĩa đường trung trực/cắt đôi.
|
| 3 | $\overline{AX} \cong \overline{CX}$. |
Definition of midpoint.
Định nghĩa trung điểm.
|
| 4 | $\angle AXD \cong \angle CXB$. |
Vertical $\angle$s are $\cong$. (P.12)
Góc đối đỉnh.
|
| 5 | $\triangle AXD \cong \triangle CXB$. |
SAS Postulate. (P.15)
Cạnh – Góc – Cạnh.
|
| 6 | $\angle D \cong \angle B$. |
CPCTC. (P.18)
Các phần tương ứng của $\Delta$ bằng nhau thì bằng nhau.
|
| 7 | $\therefore \overline{AD} \parallel \overline{BC}$. |
If a trans. intersects two lines so that alt. int. $\angle$s are $\dots$ (T.13)
Định lý 13: Góc so le trong bằng nhau thì song song.
|
Bài Tập Tự Luyện 1 (Trang 18, Proof 1)
Đề bài: Cát tuyến $t$ cắt 2 đường thẳng $m$ và $n$; $\angle 2 \cong \angle 1$. Chứng minh $m \parallel n$.
| Statements | Reasons |
|---|---|
| 1. Transversal $t$ intersects lines $m$ and $n$; $\angle 2 \cong \angle 1$. | 1. Given. Giả thiết. |
| 2. $\angle 1 \cong \angle 3$. | 2. Vert. $\angle$s are $\cong$. Góc đối đỉnh. |
| 3. $\angle 2 \cong \angle 3$. | 3. Transitive Property. Bắc cầu. |
| 4. $\therefore m \parallel n$. | 4. If a trans. intersects two lines so alt. int. $\angle$s are $\cong$, lines are $\parallel$. (T. 13) Định lý 13. |
Bài Tập Tự Luyện 2 (Trang 18, Proof 4)
Đề bài: Cho $\overline{AB} \cong \overline{CD}$; $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$. Chứng minh cạnh trái và cạnh phải cũng song song ($\overline{AD} \parallel \overline{BC}$).
| Statements | Reasons |
|---|---|
| 1. $\overline{AB} \cong \overline{CD}$; $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$. | 1. Given. Giả thiết. |
| 2. $\overline{AC} \cong \overline{AC}$. | 2. Reflexive Property. Cạnh chung. |
| 3. $\angle 1 \cong \angle 3$. | 3. Alt. int. $\angle$s are $\cong$ when lines are $\parallel$. Góc so le trong. |
| 4. $\triangle ABC \cong \triangle CDA$. | 4. SAS Postulate. Cạnh – Góc – Cạnh. |
| 5. $\angle 2 \cong \angle 4$. | 5. CPCTC. Các phần tương ứng của $\Delta$ bằng nhau. |
| 6. $\therefore \overline{AD} \parallel \overline{BC}$. | 6. If alt. int. $\angle$s are $\cong$, lines are $\parallel$. Định lý 13. |
Bài Tập Tự Luyện 3 (Trang 46, Proof 12)
Đề bài: Góc 2 bù (supplementary) Góc 7. Chứng minh $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$.
| Statements | Reasons |
|---|---|
| 1. $\angle 2$ is sup. to $\angle 7$. | 1. Given. Giả thiết. |
| 2. $\angle 2 \cong \angle 4; \angle 5 \cong \angle 7$. | 2. Vert. $\angle$s are $\cong$. (P. 12) Góc đối đỉnh. |
| 3. $\angle 4$ is sup. to $\angle 5$. | 3. Substitution Property. Tính chất thay thế. |
| 4. $\therefore \overline{AB} \parallel \overline{CD}$. | 4. If int. $\angle$s on the same side are sup, lines are $\parallel$. (T. 16) Định lý 16: Góc trong cùng phía bù nhau thì song song. |
Proof 2 (Trang 26) – Chứng Minh Góc Tam Giác Đều Bằng 60°
Given: $\triangle ABC$ is equilateral.
Prove: $m\angle B = 60^\circ$ and $m\angle C = 60^\circ$.
Biến đổi đại số hình học tinh tế:
Ở bài này, ta sẽ dùng phương pháp thế đại số:
– Vì tam giác đều nên 3 góc bằng nhau: $m\angle A = m\angle B = m\angle C$.
– Tổng 3 góc bằng 180 $\rightarrow$ Thay thế toàn bộ thành $3(m\angle A) = 180 \rightarrow m\angle A = 60$. Từ đó tất cả các góc khác cũng bằng 60!
| # | Statements (Khẳng định) | Reasons (Lý do) |
|---|---|---|
| 1 | $\triangle ABC$ is equilateral. |
Given.
Giả thiết.
|
| 2 | $\triangle ABC$ is equiangular. |
An equilateral $\triangle$ is also equiangular. (T.1, C.I)
Định lý: Tam giác đều (cạnh) cũng là tam giác đều (góc).
|
| 3 | $\angle A \cong \angle B \cong \angle C$. |
Definition of equiangular $\triangle$.
Định nghĩa tam giác có các góc bằng nhau.
|
| 4 | $m\angle A = m\angle B = m\angle C$. |
Definition of $\cong \angle$s.
Định nghĩa hai góc bằng nhau thì số đo bằng nhau.
|
| 5 | $m\angle A + m\angle B + m\angle C = 180^\circ$. |
The sum of the measures of the $\angle$s of a $\triangle$ is 180. (T.19)
Định lý 19: Tổng số đo 3 góc của 1 tam giác là 180.
|
| 6 | $m\angle A + m\angle A + m\angle A = 180^\circ$. |
Substitution Property.
Tính chất thay thế.
|
| 7 | $3(m\angle A) = 180^\circ$. |
Addition.
Phép cộng.
|
| 8 | $m\angle A = 60^\circ$. |
Division Property.
Tính chất chia (Chia 2 vế cho 3).
|
| 9 | $\therefore m\angle B = 60^\circ$ and $m\angle C = 60^\circ$. |
Substitution Property.
Tính chất thay thế.
|
Bài Tập Tự Luyện (Trang 24, Proof 1)
Đề bài: $\triangle ABC$ là một tam giác vuông (right triangle); $m\angle C = 90^\circ$. Chứng minh Góc A và Góc B phụ nhau (complementary).
| Statements | Reasons |
|---|---|
| 1. $\triangle ABC$ is a right $\triangle$; $m\angle C = 90$. | 1. Given. Giả thiết. |
| 2. $m\angle A + m\angle B + m\angle C = 180$. | 2. The sum of the measures of the $\angle$s of a $\triangle$ is 180. (T. 19) Tổng 3 góc bằng 180. |
| 3. $m\angle A + m\angle B + 90 = 180$. | 3. Substitution Property. Tính chất thay thế. |
| 4. $m\angle A + m\angle B = 90$. | 4. Subtraction Property. Tính chất trừ. |
| 5. $\therefore \angle A$ and $\angle B$ are complementary. | 5. Definition of comp. $\angle$s. Định nghĩa hai góc phụ nhau. |
Proof 1 (Trang 31) – Tuyệt Kỹ Dựng Đường Phụ
Given: $\triangle ABC$ with $\angle A \cong \angle B$.
Prove: $\overline{AC} \cong \overline{BC}$.
Tại sao phải kẻ đường phụ?
Khi tam giác ban đầu không có đủ dữ kiện để bắt cặp tam giác bằng nhau, ta tự tạo ra đường phân giác $CD$ để phân chia thành 2 tam giác bằng nhau nhỏ hơn, dùng AAS để chứng minh và cuối cùng kéo ra điều phải chứng minh bằng CPCTC.
| # | Statements (Khẳng định) | Reasons (Lý do) |
|---|---|---|
| 1 | $\triangle ABC$ with $\angle A \cong \angle B$. |
Given.
Giả thiết.
|
| 2 | Draw $\overline{CD}$ bisecting $\angle ACB$. |
An $\angle$ has only one bisector. (P.5)
Mỗi góc chỉ có duy nhất 1 tia phân giác.
|
| 3 | $\angle ACD \cong \angle BCD$. |
Definition of bisector of an $\angle$.
Định nghĩa tia phân giác.
|
| 4 | $\overline{CD} \cong \overline{CD}$. |
Reflexive Property.
Tính chất phản xạ.
|
| 5 | $\triangle ACD \cong \triangle BCD$. |
AAS Postulate. (P.17)
Góc – Góc – Cạnh.
|
| 6 | $\therefore \overline{AC} \cong \overline{BC}$. |
CPCTC. (P.18)
Các phần tương ứng của $\Delta$ bằng nhau thì bằng nhau.
|
Bài Tập Tự Luyện – Trùm Cuối (Trang 34, Proof 21)
Đề bài: $\overline{BD}$ bisects $\angle CBE$; $\overline{AE} \parallel \overline{BD}$. Chứng minh $\overline{AB} \cong \overline{BE}$.
| Statements | Reasons |
|---|---|
| 1. $\overline{BD}$ bisects $\angle CBE$; $\overline{AE} \parallel \overline{BD}$. | 1. Given. Giả thiết. |
| 2. $\angle EBD \cong \angle CBD$. | 2. Definition of bisector of an $\angle$. Định nghĩa tia phân giác. |
| 3. $\angle AEB \cong \angle EBD$. | 3. If a trans. intersects two $\parallel$ lines, then the alt. int. $\angle$s are $\cong$. (T.9) Góc so le trong. |
| 4. $\angle A \cong \angle CBD$. | 4. If a trans. intersects two $\parallel$ lines, then the cor. $\angle$s are $\cong$. (T.10) Góc đồng vị. |
| 5. $\angle AEB \cong \angle A$. | 5. Substitution Property. Tính chất thay thế. |
| 6. $\therefore \overline{AB} \cong \overline{BE}$. | 6. If two $\angle$s of a $\triangle$ are $\cong$, the opposite sides are $\cong$. (T.21) Định lý tam giác cân (2 góc đáy bằng nhau thì 2 cạnh bằng nhau). |
GEOMETRY 1111 TEST (Self Test)
PART I: LOGIC AND REASONING (3 points each)
1. The process of developing a general principle from accepted, particular facts is called reasoning.
2. The process of determining a specific statement from more general statements that are accepted as true is called reasoning.
3. Premise 1: If a person is a Senator, they may run for President.
Premise 2: Phil Gramm is a Senator.
$\rightarrow$ Conclusion: .
4. Major premise: .
5. Minor premise: .
6. Conclusion: .
7. We will go on a picnic, .
8. a. (Major premise)
b. (Minor premise)
c. (Conclusion)
PART II: GEOMETRY VOCABULARY (3 points each)
9. Two figures that have the same size and shape are said to be .
10. A line, ray, or line segment that intersects a line segment at its midpoint, dividing it into two congruent parts is a .
11. The side opposite the right angle in a right triangle is the .
12. The algebraic property that allows you to change the order of numbers being added or multiplied ($a+b=b+a$) is the Property.
13. A logical statement that has been proved to be true is a .
14. A triangle having three congruent sides or three congruent angles is an triangle.
15. Two angles whose measures have a sum of $180^\circ$ are angles.
16. A triangle with one 90-degree angle is a triangle.
17. To separate a geometric figure into two congruent parts is to it.
18. The rule of deduction that connects sequential conditional statements is the rule.
PART III: TRIANGLE CONGRUENCE THEOREMS (3 points each)
19. State the CPCTC rule: .
20. LL Theorem: If two legs of one right triangle , then the two triangles are congruent.
21. LA Theorem: If a leg and an acute angle of one right triangle , then the two triangles are congruent.
PART IV: TWO-COLUMN PROOFS
Test Proof 6
Given: $\overline{DE} \parallel \overline{AB}; \overline{AC} \parallel \overline{EF}$.
Prove: $\angle CDE \cong \angle EFB$.
Hướng dẫn các bước giải:
– Cặp song song 1 ($DE \parallel AB$) giúp ta tìm được Góc $CDE$ = Góc $A$ (vì là góc đồng vị).
– Cặp song song 2 ($AC \parallel EF$) giúp ta tìm được Góc $A$ = Góc $EFB$ (cũng đồng vị).
– Cuối cùng dùng tính chất bắc cầu (Transitive), suy ra Góc $CDE$ = Góc $EFB$. Ăn trọn điểm!
| Statements | Reasons |
|---|---|
| 1. $\overline{DE} \parallel \overline{AB}; \overline{AC} \parallel \overline{EF}$ | 1. Given. Giả thiết. |
| 2. $\angle CDE \cong \angle A$ | 2. Corresp. $\angle$s are $\cong$ when lines are $\parallel$. Góc đồng vị. |
| 3. $\angle A \cong \angle EFB$ | 3. Corresp. $\angle$s are $\cong$ when lines are $\parallel$. Góc đồng vị. |
| 4. $\therefore \angle CDE \cong \angle EFB$ | 4. Transitive Property. Tính chất bắc cầu. |
Test Proof 7
Given: $O$ is the midpoint of $\overline{AC}$; $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$.
Prove: $\overline{CE} \cong \overline{AF}$.
Hướng dẫn các bước giải:
– Chữ “Midpoint” cho ta **1 Cạnh** ($AO=CO$).
– Góc đối đỉnh cho ta **1 Góc** ($AOF=COE$).
– Chữ “song song” cho ta **1 Góc** so le trong nữa ($OAF=OCE$).
– Gom 3 thứ lại theo luật **Góc-Cạnh-Góc (ASA)**, hai tam giác bằng nhau. Cuối cùng gọi bảo bối **CPCTC** ra để khẳng định 2 đoạn thẳng bằng nhau.
| Statements | Reasons |
|---|---|
| 1. $O$ is the midpoint of $\overline{AC}; \overline{AB} \parallel \overline{CD}$ | 1. Given. Giả thiết. |
| 2. $\overline{AO} \cong \overline{CO}$ | 2. Definition of midpoint. Định nghĩa trung điểm. |
| 3. $\angle AOF \cong \angle COE$ | 3. Vert. $\angle$s are $\cong$. Góc đối đỉnh. |
| 4. $\angle OAF \cong \angle OCE$ | 4. Alt. int. $\angle$s are $\cong$. Góc so le trong. |
| 5. $\triangle OAF \cong \triangle OCE$ | 5. ASA Postulate. Tiên đề Góc – Cạnh – Góc. |
| 6. $\therefore \overline{CE} \cong \overline{AF}$ | 6. CPCTC. Các phần tương ứng của tam giác bằng nhau thì bằng nhau. |
GIẢI THEO TRANG
Geometry 1111 (Theo Trang)
Hệ thống bài giảng, Lý thuyết & Kho bài tập (Được phân chia theo số trang)
Từ Điển Cứu Hộ PACE 1111 (Thấy dấu hiệu là chép ngay câu này)
$\parallel$ (Song song) + Chữ Z
Góc so le trong. Ghi ngay:
Alt. int. $\angle$s are $\cong$ (T.9)
$\parallel$ (Song song) + Chữ F
Góc đồng vị (cùng góc xếp). Ghi ngay:
Corresp. $\angle$s are $\cong$ (T.10)
Chữ X (Đường chéo)
Góc đối đỉnh (quay lưng). Ghi ngay:
Vert. $\angle$s are $\cong$ (P.12)
Cạnh / Góc Chung
Bức tường chung 2 tam giác. Ghi ngay:
Reflexive Property (VD: $AC \cong AC$)
Chữ “Bisect” / “Midpoint”
Đề bảo chém đôi / điểm giữa. Ghi ngay:
Def. of bisector / midpoint
Ký hiệu $\perp$ (Vuông góc)
Tạo ra góc vuông $90^\circ$. Ghi ngay:
Def. of $\perp$ lines $\rightarrow$ rt. $\angle$
Góc trên 1 đường thẳng
Hai góc đứng cạnh nhau. Ghi ngay:
Adj. $\angle$s formed are sup. (P.9)
Trùm Cuối “CPCTC”
Dùng SAU KHI đã c/m $\triangle \cong \triangle$. Ghi ngay:
CPCTC (P.18)
Trang 52 – TỔNG HỢP LÝ THUYẾT
Theorem 19:
The sum of the measures of the angles of a triangle is 180.
Tổng 3 góc của một tam giác luôn bằng 180°.
Corollary I:
If a $\triangle$ is a right $\triangle$, then the acute $\angle$s are complementary.
Trong tam giác vuông, 2 góc nhọn luôn phụ nhau (tổng = 90°).
Corollary III:
If two $\angle$s of one $\triangle$ are $\cong$ to two $\angle$s of another $\triangle$, then the remaining $\angle$s are $\cong$.
Nếu 2 góc của tam giác này bằng 2 góc của tam giác kia, thì góc thứ 3 cũng bằng nhau.
Corollary IV:
The measure of each $\angle$ of an equilateral $\triangle$ is 60.
Mỗi góc của một tam giác đều luôn bằng đúng 60°.
Theorem 20:
The measure of an exterior $\angle$ of a $\triangle$ is equal to the sum of the measures of the two remote interior $\angle$s.
Góc ngoài của tam giác bằng tổng 2 góc trong không kề với nó.
Theorem 21:
If two angles of a triangle are congruent, then the sides opposite those angles are congruent.
Định lý đảo: Nếu 2 góc bằng nhau $\rightarrow$ 2 cạnh đối diện nó bằng nhau (Tam giác cân).
Corollary of Theorem 21:
An equiangular triangle is also equilateral.
Một tam giác có 3 góc bằng nhau thì nó cũng là tam giác đều (3 cạnh bằng nhau).
Khẳng định những gì CÓ THỂ vẽ được bằng compa và thước.
Theorem 22 & 23:
A line segment / an angle can be constructed congruent to a given segment / angle.
Theorem 24:
An angle can be bisected.
Mọi góc đều có thể bị chia đôi (luôn kẻ được tia phân giác).
Theorem 27:
The perpendicular bisector of a line segment can be constructed.
Theorem 28:
A line can be constructed parallel to a line through a given point not on the line.
Trang 6 – Từ Vuông Góc Suy Ra Song Song
1. Bài Proof 4 (Trang 6)
Given: $\angle B$ is a right angle; $\overline{AB} \parallel \overline{DE}$.
Prove: $\triangle DEC$ is a right triangle.
Hướng Dẫn Tư Duy Từng Bước:
- Bước 1: Viết lại những gì đề bài cho sẵn để lấy điểm phần này.
- Bước 2: Góc $B$ vuông ($90^\circ$) nghĩa là cạnh $BC$ vuông góc với cạnh $AB$.
- Bước 3 (Bước chốt hạ): Cạnh $BC$ giống như thanh gỗ đặt vắt ngang 2 đường ray song song ($AB$ và $DE$). Nếu nó vuông góc với đường ray thứ nhất, nó cũng phải vuông góc với đường ray thứ hai. Vậy $BC \perp DE$.
- Bước 4: Vì $BC \perp DE$, góc tạo bởi chúng ($\angle DEC$) bắt buộc phải là góc vuông.
- Bước 5: Tam giác chứa góc vuông thì gọi là “Tam giác vuông” (Right triangle). Xong!
| # | Statements (Khẳng định) | Reasons (Lý do) |
|---|---|---|
| 1 | $\angle B$ is a right angle; $\overline{AB} \parallel \overline{DE}$. |
Given.
Đề bài cho sẵn.
|
| 2 | $\overline{BC} \perp \overline{AB}$. |
Definition of $\perp$ lines.
Định nghĩa hai đường thẳng vuông góc tạo ra góc vuông.
|
| 3 | $\overline{BC} \perp \overline{DE}$. |
If a line is $\perp$ to one of two $\parallel$ lines, then it is $\perp$ to the other also. (T.8)
Định lý 8.
|
| 4 | $\angle DEC$ is a rt. $\angle$. |
Definition of $\perp$ lines.
Định nghĩa đường thẳng vuông góc tạo ra góc vuông.
|
| 5 | $\therefore \triangle DEC$ is a right triangle. |
Definition of rt. $\triangle$.
Định nghĩa tam giác vuông.
|
Bài Tập Tự Luyện (Trang 6, Proof 5)
Đề bài: Cho $\overline{DE} \perp \overline{BE}$; $m\angle B = 90^\circ$. Chứng minh $\overline{AB} \parallel \overline{DE}$.
| Statements | Reasons |
|---|---|
| 1. $\overline{DE} \perp \overline{BE}$; $m\angle B = 90$. | 1. Given. Giả thiết. |
| 2. $\angle B$ is a rt. $\angle$. | 2. Definition of rt. $\angle$. Định nghĩa góc vuông. |
| 3. $\overline{AB} \perp \overline{BE}$. | 3. Definition of $\perp$ lines. Định nghĩa đường thẳng vuông góc. |
| 4. $\therefore \overline{AB} \parallel \overline{DE}$. | 4. If two lines in a plane are each $\perp$ to a third line, then they are $\parallel$ to each other. (T.7) Định lý 7: Hai đường cùng vuông góc với đường thứ 3 thì song song nhau. |
Trang 9 – Cát Tuyến & Cạnh Chung
1. Bài Proof 1 (Trang 9)
Given: Transversal $t$ intersects lines $m$ and $n$; $m \parallel n$.
Prove: $\angle 1 \cong \angle 2$.
Cách xây dựng bắc cầu logic:
– Bước 1: Hãy nhìn vào chỗ đường $t$ cắt đường $m$. Góc 1 và Góc 3 nằm đối diện nhau qua dấu X (như hai lưỡi kéo) $\rightarrow$ Góc đối đỉnh thì bằng nhau.
– Bước 2: Nhìn vào khoảng giữa 2 đường song song. Góc 3 và góc 2 tạo thành hình chữ Z $\rightarrow$ Góc so le trong (Alternate interior angles) thì bằng nhau.
– Bước 3 (Bắc cầu): Bạn 1 cao bằng bạn 3. Bạn 3 cao bằng bạn 2. Suy ra bạn 1 cao bằng bạn 2. Xong!
| # | Statements | Reasons |
|---|---|---|
| 1 | Transversal $t$ intersects lines $m$ and $n$; $m \parallel n$. | Given. |
| 2 | $\angle 1 \cong \angle 3$. | Vert. $\angle$s are $\cong$. (P.12) Góc đối đỉnh thì bằng nhau. |
| 3 | $\angle 3 \cong \angle 2$. | If a trans. intersects two $\parallel$ lines, then the alt. int. $\angle$s are $\cong$. (T.9) Góc so le trong của 2 đường song song thì bằng nhau. |
| 4 | $\therefore \angle 1 \cong \angle 2$. | Transitive Property. Tính chất bắc cầu. |
Bài Tập Tự Luyện 1 (Trang 9, Proof 2)
Đề bài: Cho tứ giác $ABCD$ có các cạnh đối diện song song: $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$ và $\overline{AD} \parallel \overline{BC}$. Có đường chéo $AC$. Chứng minh $\triangle ABC \cong \triangle CDA$.
| Statements | Reasons |
|---|---|
| 1. $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$; $\overline{AD} \parallel \overline{BC}$. | 1. Given. Giả thiết. |
| 2. $\overline{AC} \cong \overline{AC}$. | 2. Reflexive Property. Tính chất phản xạ (Cạnh chung). |
| 3. $\angle 1 \cong \angle 3$; $\angle 2 \cong \angle 4$. | 3. If a trans. intersects two $\parallel$ lines, then the alt. int. $\angle$s are $\cong$. (T.9) Định lý 9: Góc so le trong. |
| 4. $\therefore \triangle ABC \cong \triangle CDA$. | 4. ASA Postulate. (P.16) Tiên đề Góc – Cạnh – Góc. |
Bài Tập Tự Luyện 2 (Trang 9, Proof 3)
Đề bài: Cho tia $EC$ là tia phân giác của $\angle BEF$; Đường thẳng $BC \parallel EF$. Chứng minh $\angle BEC \cong \angle BCE$.
| Statements | Reasons |
|---|---|
| 1. $EC$ bisects $\angle BEF$; $BC \parallel EF$. | 1. Given. |
| 2. $\angle BCE \cong \angle FEC$. | 2. If a trans. intersects two $\parallel$ lines, then the alt. int. $\angle$s are $\cong$. Góc so le trong. |
| 3. $\angle BEC \cong \angle FEC$. | 3. Definition of bisector of an $\angle$. Định nghĩa tia phân giác. |
| 4. $\therefore \angle BEC \cong \angle BCE$. | 4. Substitution Property. Tính chất thay thế (bắc cầu). |
Trang 10 & 11 – Tam Giác Cân & Khởi Đầu Góc
1. Bài Proof 4 (Trang 10)
Given: $\triangle ABC$ with $\overline{AC} \cong \overline{BC}$; $\overline{AB} \parallel \overline{CE}$.
Prove: $\overline{CE}$ bisects $\angle BCD$.
Chuỗi suy luận 4 nấc:
1. Tam giác cân $\rightarrow$ Góc A = Góc B.
2. Song song $\rightarrow$ Góc A = Góc 1 (đồng vị); Góc B = Góc 2 (so le trong).
3. Suy ra Góc 1 = Góc 2 (tính chất thế).
4. Hai góc con bằng nhau suy ra tia ở giữa là phân giác (bisector).
| # | Statements | Reasons |
|---|---|---|
| 1 | $\triangle ABC$ with $AC \cong BC$; $AB \parallel CE$. | 1. Given. |
| 2 | $\angle A \cong \angle B$. | Isosceles Triangle Theorem. (T.1) Định lý Tam giác cân (2 cạnh bằng nhau thì 2 góc đáy bằng nhau). |
| 3 | $\angle A \cong \angle 1$. | If a trans. intersects two $\parallel$ lines, then the corresponding $\angle$s are $\cong$. (T.10) Góc đồng vị. |
| 4 | $\angle B \cong \angle 2$. | If a trans. intersects two $\parallel$ lines, then the alt. int. $\angle$s are $\cong$. (T.9) Góc so le trong. |
| 5 | $\angle 1 \cong \angle 2$. | Substitution Property. Tính chất thay thế. |
| 6 | $\therefore \overline{CE}$ bisects $\angle BCD$. | Definition of bisector of an $\angle$. Định nghĩa tia phân giác. |
Bài Tập Tự Luyện (Trang 11, Proof 1)
Đề bài: Cát tuyến $t$ cắt đường thẳng $m$ và $n$; $m \parallel n$. Chứng minh $\angle 1 \cong \angle 7$ (Góc 1 và 7 nằm lơ lửng ngoài cùng bến chéo, gọi là so le ngoài).
| Statements | Reasons |
|---|---|
| 1. Transversal $t$ intersects $m, n$; $m \parallel n$. | 1. Given. Giả thiết. |
| 2. $\angle 3 \cong \angle 5$. | 2. If a trans. cuts $\parallel$ lines, then alt. int. $\angle$s are $\cong$. (T.9) Góc so le trong. |
| 3. $\angle 1 \cong \angle 3$; $\angle 5 \cong \angle 7$. | 3. Vert. $\angle$s are $\cong$. Góc đối đỉnh. |
| 4. $\therefore \angle 1 \cong \angle 7$. | 4. Substitution Property. Tính chất thay thế. |
Trang 13 & 15 – Bù Nhau & Hệ Thống Vuông Góc
1. Bài Proof 10 (Trang 13)
Given: $a \parallel b$; $c \parallel d$.
Prove: $m\angle 5 + m\angle 2 = 180^\circ$.
Góc kề và bù nhau (Supplementary):
– Bước 1: Chỉ ra Góc 5 kề bù với Góc 4 vì chúng là 2 góc trong cùng một phía của đường cắt.
– Bước 2: Thế Góc 4 bằng Góc 2 vì chúng ở vị trí đồng vị bằng nhau.
– Bước 3: Thay thế là ra ngay phép cộng bằng $180^\circ$.
| # | Statements | Reasons |
|---|---|---|
| 1 | $a \parallel b$; $c \parallel d$. | 1. Given. |
| 2 | $\angle 5$ is supplementary to $\angle 4$. | If a trans. intersects two $\parallel$ lines, then the int. $\angle$s on the same side are sup. (T.12) Định lý 12: Hai góc trong cùng phía thì bù nhau. |
| 3 | $\angle 4 \cong \angle 2$. | If a trans. intersects two $\parallel$ lines, then the corresponding $\angle$s are $\cong$. (T.10) Định lý 10: Hai góc đồng vị thì bằng nhau. |
| 4 | $\angle 5$ is supplementary to $\angle 2$. | Substitution Property. Tính chất thay thế. |
| 5 | $\therefore m\angle 5 + m\angle 2 = 180^\circ$. | Definition of supplementary $\angle$s. Định nghĩa hai góc bù nhau. |
Bài Tập Tự Luyện 1 (Trang 13, Proof 11)
Đề bài: Cho $BD$ là tia phân giác của $\angle ABC$; $AD \parallel BC$. Chứng minh $\angle 1 \cong \angle 4$.
| Statements | Reasons |
|---|---|
| 1. $BD$ bisects $\angle ABC; AD \parallel BC$. | 1. Given. |
| 2. $\angle 3 \cong \angle 4$. | 2. Definition of bisector of an $\angle$. Định nghĩa tia phân giác. |
| 3. $\angle 1 \cong \angle 3$. | 3. If a trans. intersects two $\parallel$ lines, then the alt. int. $\angle$s are $\cong$. (T.9) Góc so le trong. |
| 4. $\therefore \angle 1 \cong \angle 4$. | 4. Substitution Property. Tính chất thay thế. |
2. Bài Proof 13 (Trang 15)
Given: $\overline{AB} \perp \overline{BC}$; $\overline{AB} \perp \overline{AD}$; $\overline{DC} \perp \overline{BC}$; $\overline{DC} \perp \overline{AD}$.
Prove: $\triangle ADB \cong \triangle CBD$.
Bí quyết xử lý hệ vuông góc:
– Bước 1: Từ các đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thứ ba, suy ra các cặp cạnh song song ($AB \parallel CD$ và $AD \parallel BC$).
– Bước 2: Từ song song, tìm 2 chữ Z để có các cặp góc so le trong bằng nhau.
– Bước 3: Tìm cạnh chung $BD$ (Reflexive Property).
– Bước 4: Chốt hạ bằng ASA.
| # | Statements | Reasons |
|---|---|---|
| 1 | $\overline{AB} \perp \overline{BC}; \overline{AB} \perp \overline{AD}$; $\overline{DC} \perp \overline{BC}; \overline{DC} \perp \overline{AD}$. | 1. Given. |
| 2 | $\overline{AB} \parallel \overline{DC}; \overline{AD} \parallel \overline{BC}$. | If two lines in a plane are each $\perp$ to a third line, then they are $\parallel$ to each other. (T.7) Hai đường cùng vuông góc với đường thứ 3 thì song song. |
| 3 | $\angle ADB \cong \angle CBD$; $\angle ABD \cong \angle CDB$. | If a trans. intersects two $\parallel$ lines, then the alt. int. $\angle$s are $\cong$. (T.9) Góc so le trong. |
| 4 | $\overline{BD} \cong \overline{BD}$. | Reflexive Property. Tính chất phản xạ (Cạnh chung). |
| 5 | $\therefore \triangle ADB \cong \triangle CBD$. | ASA Postulate. Góc – Cạnh xen giữa – Góc. |
Trang 18 & 19 – Lật Ngược: Chứng Minh Song Song
1. Bài Proof 6 (Trang 19)
Given: $\overline{AC}$ bisects $\overline{BD}$; $X$ is the midpoint of $\overline{AC}$.
Prove: $\overline{AD} \parallel \overline{BC}$.
Định hướng suy luận song song:
– Bước 1: Dùng “bisect” (cắt đôi) và “midpoint” (trung điểm) để tìm các cạnh bằng nhau ($BX=DX, AX=CX$).
– Bước 2: Tìm góc kẹp giữa tâm X (góc đối đỉnh).
– Bước 3: Chứng minh hai tam giác đồng hồ cát bằng nhau bằng SAS.
– Bước 4: Gọi bảo bối CPCTC để suy ra góc so le trong D và B bằng nhau $\rightarrow$ Chốt song song!
| # | Statements | Reasons |
|---|---|---|
| 1 | $\overline{AC}$ bisects $\overline{BD}$; $X$ is the midpoint of $\overline{AC}$. | 1. Given. |
| 2 | $\overline{BX} \cong \overline{DX}$. | Definition of bisector of a line segment. Định nghĩa đường chém đôi. |
| 3 | $\overline{AX} \cong \overline{CX}$. | Definition of midpoint. Định nghĩa trung điểm. |
| 4 | $\angle AXD \cong \angle CXB$. | Vertical $\angle$s are $\cong$. (P.12) Góc đối đỉnh thì bằng nhau. |
| 5 | $\triangle AXD \cong \triangle CXB$. | SAS Postulate. (P.15) Cạnh – Góc – Cạnh. |
| 6 | $\angle D \cong \angle B$. | CPCTC. (P.18) Phần tương ứng của $\Delta$ bằng nhau. |
| 7 | $\therefore \overline{AD} \parallel \overline{BC}$. | If a trans. intersects two lines so that alt. int. $\angle$s are $\cong$, lines are $\parallel$. (T.13) Định lý 13: Góc so le trong bằng nhau thì song song. |
Bài Tập Tự Luyện 1 (Trang 18, Proof 1)
Đề bài: Cát tuyến $t$ cắt 2 đường thẳng $m$ và $n$; $\angle 2 \cong \angle 1$. Chứng minh $m \parallel n$.
| Statements | Reasons |
|---|---|
| 1. Transversal $t$ intersects lines $m$ and $n$; $\angle 2 \cong \angle 1$. | 1. Given. |
| 2. $\angle 1 \cong \angle 3$. | 2. Vert. $\angle$s are $\cong$. |
| 3. $\angle 2 \cong \angle 3$. | 3. Transitive Property. |
| 4. $\therefore m \parallel n$. | 4. If a trans. intersects two lines so alt. int. $\angle$s are $\cong$, lines are $\parallel$. (T. 13) |
Bài Tập Tự Luyện 2 (Trang 18, Proof 4)
Đề bài: Cho $\overline{AB} \cong \overline{CD}$; $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$. Chứng minh cạnh trái và phải cũng song song ($\overline{AD} \parallel \overline{BC}$).
| Statements | Reasons |
|---|---|
| 1. $\overline{AB} \cong \overline{CD}$; $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$. | 1. Given. |
| 2. $\overline{AC} \cong \overline{AC}$. | 2. Reflexive Property. |
| 3. $\angle 1 \cong \angle 3$. | 3. If a trans. cuts $\parallel$ lines, alt. int. $\angle$s are $\cong$. |
| 4. $\triangle ABC \cong \triangle CDA$. | 4. SAS Postulate. |
| 5. $\angle 2 \cong \angle 4$. | 5. CPCTC. |
| 6. $\therefore \overline{AD} \parallel \overline{BC}$. | 6. If alt. int. $\angle$s are $\cong$, lines are $\parallel$. |
Trang 20, 24, 26 – Bù, Phụ & Tam Giác Đều
1. Bài Proof 2 (Trang 26)
Given: $\triangle ABC$ is equilateral.
Prove: $m\angle B = 60^\circ$ and $m\angle C = 60^\circ$.
Biến đổi đại số hình học tinh tế:
Tam giác đều $\rightarrow$ 3 góc bằng nhau. Thế $m\angle A$ cho $B$ và $C$ vào tổng $180^\circ$. Được $3(m\angle A) = 180^\circ \rightarrow m\angle A = 60^\circ$. Suy ra tất cả đều bằng 60°.
| # | Statements | Reasons |
|---|---|---|
| 1 | $\triangle ABC$ is equilateral. | 1. Given. |
| 2 | $\triangle ABC$ is equiangular. | An equilateral $\triangle$ is also equiangular. (T.1, C.I) |
| 3 | $\angle A \cong \angle B \cong \angle C$. | Definition of equiangular $\triangle$. |
| 4 | $m\angle A = m\angle B = m\angle C$. | Definition of $\cong \angle$s. Định nghĩa hai góc bằng nhau thì số đo bằng nhau. |
| 5 | $m\angle A + m\angle B + m\angle C = 180^\circ$. | The sum of the measures of the $\angle$s of a $\triangle$ is 180. (T.19) |
| 6 | $m\angle A + m\angle A + m\angle A = 180^\circ$. | Substitution Property. |
| 7 | $3(m\angle A) = 180^\circ$. | Addition. |
| 8 | $m\angle A = 60^\circ$. | Division Property. Tính chất chia (Chia 2 vế cho 3). |
| 9 | $\therefore m\angle B = 60^\circ$ & $m\angle C = 60^\circ$. | Substitution Property. |
Bài Tập Tự Luyện 1 (Trang 20, Proof 2)
Đề bài: Cát tuyến $t$ cắt 2 đường thẳng $m$ và $n$; Góc 1 bù (supplementary) Góc 2. Chứng minh $m \parallel n$.
| Statements | Reasons |
|---|---|
| 1. Transversal $t$ intersects $m$ and $n$; $\angle 1$ sup. $\angle 2$. | 1. Given. |
| 2. $\angle 1$ is sup. to $\angle 3$. | 2. If one line meets another line, the adj. $\angle$s formed are always sup. (P. 9) |
| 3. $\angle 2 \cong \angle 3$. | 3. $\angle$s that are sup. of the same $\angle$ are $\cong$. (P. 11) |
| 4. $\therefore m \parallel n$. | 4. If a trans. intersects two lines so alt. int. $\angle$s are $\cong$, lines are $\parallel$. (T. 13) |
Bài Tập Tự Luyện 2 (Trang 24, Proof 1)
Đề bài: $\triangle ABC$ là một tam giác vuông (right triangle); $m\angle C = 90^\circ$. Chứng minh Góc A và Góc B phụ nhau (complementary).
| Statements | Reasons |
|---|---|
| 1. $\triangle ABC$ is a right $\triangle$; $m\angle C = 90$. | 1. Given. |
| 2. $m\angle A + m\angle B + m\angle C = 180$. | 2. The sum of the measures of the $\angle$s of a $\triangle$ is 180. (T. 19) |
| 3. $m\angle A + m\angle B + 90 = 180$. | 3. Substitution Property. |
| 4. $m\angle A + m\angle B = 90$. | 4. Subtraction Property. |
| 5. $\therefore \angle A$ and $\angle B$ are complementary. | 5. Definition of comp. $\angle$s. |
Trang 28, 31, 32 – Đường Phụ & Đảo Tam Giác Cân
1. Bài Proof 1 (Trang 31)
Given: $\triangle ABC$ with $\angle A \cong \angle B$.
Prove: $\overline{AC} \cong \overline{BC}$. (Định lý đảo Tam giác cân)
Tại sao phải kẻ đường phụ?
Khi tam giác ban đầu không có đủ dữ kiện để bắt cặp tam giác bằng nhau, ta tự tạo ra đường phân giác $CD$ để phân chia thành 2 tam giác bằng nhau nhỏ hơn, dùng AAS để chứng minh và cuối cùng kéo ra điều phải chứng minh bằng CPCTC.
| # | Statements | Reasons |
|---|---|---|
| 1 | $\triangle ABC$ with $\angle A \cong \angle B$. | 1. Given. |
| 2 | Draw $\overline{CD}$ bisecting $\angle ACB$. | An $\angle$ has only one bisector. (P. 5) Mỗi góc chỉ có duy nhất 1 tia phân giác. |
| 3 | $\angle ACD \cong \angle BCD$. | Definition of bisector of an $\angle$. |
| 4 | $\overline{CD} \cong \overline{CD}$. | Reflexive Property. Tính chất phản xạ. |
| 5 | $\triangle ACD \cong \triangle BCD$. | AAS Postulate. (P. 17) Góc – Góc – Cạnh. |
| 6 | $\therefore \overline{AC} \cong \overline{BC}$. | CPCTC. (P. 18) Các phần tương ứng của $\Delta$ bằng nhau thì bằng nhau. |
Bài Tập Tự Luyện 1 (Trang 28, Proof 13)
Đề bài: Cho 2 tam giác đều riêng biệt $ABC$ và $DEF$. Chứng minh $\angle B \cong \angle EDF$.
| Statements | Reasons |
|---|---|
| 1. Equilateral triangles $ABC$ and $DEF$. | 1. Given. |
| 2. $m\angle B = 60$; $m\angle EDF = 60$. | 2. Measure of each $\angle$ of equilateral $\triangle$ is 60. |
| 3. $m\angle B = m\angle EDF$. | 3. Substitution Property. |
| 4. $\therefore \angle B \cong \angle EDF$. | 4. Definition of $\cong \angle$s. |
Bài Tập Tự Luyện 2 (Trang 32, Proof 3)
Đề bài: Cho $\overline{AC} \perp \overline{BD}$. Chứng minh $\angle 1$ và $\angle 3$ phụ nhau (complementary).
| Statements | Reasons |
|---|---|
| 1. $\overline{AC} \perp \overline{BD}$. | 1. Given. |
| 2. $\angle ACB$ is a rt. $\angle$. | 2. Definition of $\perp$ lines. |
| 3. $\triangle ACB$ is a rt. $\triangle$. | 3. Definition of rt. $\triangle$. |
| 4. $\therefore \angle 1$ & $\angle 3$ are complementary. | 4. If $\triangle$ is rt. $\triangle$, acute $\angle$s are comp. (T.19) |
Trang 34 & 46 – Trùm Cuối & Góc Kề Bù
Bài Tập Tự Luyện – Trùm Cuối (Trang 34, Proof 21)
Đề bài: $\overline{BD}$ bisects $\angle CBE$; $\overline{AE} \parallel \overline{BD}$. Chứng minh $\overline{AB} \cong \overline{BE}$.
| Statements | Reasons |
|---|---|
| 1. $\overline{BD}$ bisects $\angle CBE$; $\overline{AE} \parallel \overline{BD}$. | 1. Given. |
| 2. $\angle EBD \cong \angle CBD$. | 2. Definition of bisector of an $\angle$. |
| 3. $\angle AEB \cong \angle EBD$. | 3. If a trans. intersects two $\parallel$ lines, then the alt. int. $\angle$s are $\cong$. (T.9) |
| 4. $\angle A \cong \angle CBD$. | 4. If a trans. intersects two $\parallel$ lines, then the cor. $\angle$s are $\cong$. (T.10) |
| 5. $\angle AEB \cong \angle A$. | 5. Substitution Property. |
| 6. $\therefore \overline{AB} \cong \overline{BE}$. | 6. If two $\angle$s of a $\triangle$ are $\cong$, the opposite sides are $\cong$. (T.21) |
Bài Tập Tự Luyện (Trang 46, Proof 12)
Đề bài: Góc 2 bù (supplementary) Góc 7. Chứng minh $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$.
| Statements | Reasons |
|---|---|
| 1. $\angle 2$ is sup. to $\angle 7$. | 1. Given. |
| 2. $\angle 2 \cong \angle 4; \angle 5 \cong \angle 7$. | 2. Vert. $\angle$s are $\cong$. (P. 12) |
| 3. $\angle 4$ is sup. to $\angle 5$. | 3. Substitution Property. |
| 4. $\therefore \overline{AB} \parallel \overline{CD}$. | 4. If int. $\angle$s on the same side are sup, lines are $\parallel$. (T. 16) |
GEOMETRY 1111 PACE TEST (Self Test)
PART I: LOGIC AND REASONING
1. The process of developing a general principle from accepted, particular facts is called reasoning.
2. The process of determining a specific statement from more general statements that are accepted as true is called reasoning.
3. Premise 1: If a person is a Senator, they may run for President.
Premise 2: Phil Gramm is a Senator.
$\rightarrow$ Conclusion: .
4. Major premise: .
5. Minor premise: .
6. Conclusion: .
7. We will go on a picnic, .
8. a. (Major premise)
b. (Minor premise)
c. (Conclusion)
PART II: GEOMETRY VOCABULARY
9. Two figures that have the same size and shape are said to be .
10. A line, ray, or line segment that intersects a line segment at its midpoint, dividing it into two congruent parts is a .
11. The side opposite the right angle in a right triangle is the .
12. The algebraic property that allows you to change the order of numbers being added or multiplied ($a+b=b+a$) is the Property.
13. A logical statement that has been proved to be true is a .
14. A triangle having three congruent sides or three congruent angles is an triangle.
15. Two angles whose measures have a sum of $180^\circ$ are angles.
16. A triangle with one 90-degree angle is a triangle.
17. To separate a geometric figure into two congruent parts is to it.
18. The rule of deduction that connects sequential conditional statements is the rule.
PART III: TRIANGLE CONGRUENCE THEOREMS
19. State the CPCTC rule: .
20. LL Theorem: If two legs of one right triangle , then the two triangles are congruent.
21. LA Theorem: If a leg and an acute angle of one right triangle , then the two triangles are congruent.
PART IV: TWO-COLUMN PROOFS
Test Proof 6
Given: $\overline{DE} \parallel \overline{AB}; \overline{AC} \parallel \overline{EF}$.
Prove: $\angle CDE \cong \angle EFB$.
Hướng dẫn các bước giải:
– Cặp song song 1 ($DE \parallel AB$) giúp ta tìm được Góc $CDE$ = Góc $A$ (vì là góc đồng vị).
– Cặp song song 2 ($AC \parallel EF$) giúp ta tìm được Góc $A$ = Góc $EFB$ (cũng đồng vị).
– Cuối cùng dùng tính chất bắc cầu (Transitive), suy ra Góc $CDE$ = Góc $EFB$. Ăn trọn điểm!
| Statements | Reasons |
|---|---|
| 1. $\overline{DE} \parallel \overline{AB}; \overline{AC} \parallel \overline{EF}$ | 1. Given. Giả thiết. |
| 2. $\angle CDE \cong \angle A$ | 2. Corresp. $\angle$s are $\cong$ when lines are $\parallel$. Góc đồng vị. |
| 3. $\angle A \cong \angle EFB$ | 3. Corresp. $\angle$s are $\cong$ when lines are $\parallel$. Góc đồng vị. |
| 4. $\therefore \angle CDE \cong \angle EFB$ | 4. Transitive Property. Tính chất bắc cầu. |
Test Proof 7
Given: $O$ is the midpoint of $\overline{AC}$; $\overline{AB} \parallel \overline{CD}$.
Prove: $\overline{CE} \cong \overline{AF}$.
Hướng dẫn các bước giải:
– Chữ “Midpoint” cho ta **1 Cạnh** ($AO=CO$).
– Góc đối đỉnh cho ta **1 Góc** ($AOF=COE$).
– Chữ “song song” cho ta **1 Góc** so le trong nữa ($OAF=OCE$).
– Gom 3 thứ lại theo luật **Góc-Cạnh-Góc (ASA)**, hai tam giác bằng nhau. Cuối cùng gọi bảo bối **CPCTC** ra để khẳng định 2 đoạn thẳng bằng nhau.
| Statements | Reasons |
|---|---|
| 1. $O$ is the midpoint of $\overline{AC}; \overline{AB} \parallel \overline{CD}$ | 1. Given. Giả thiết. |
| 2. $\overline{AO} \cong \overline{CO}$ | 2. Definition of midpoint. Định nghĩa trung điểm. |
| 3. $\angle AOF \cong \angle COE$ | 3. Vert. $\angle$s are $\cong$. Góc đối đỉnh. |
| 4. $\angle OAF \cong \angle OCE$ | 4. Alt. int. $\angle$s are $\cong$. Góc so le trong. |
| 5. $\triangle OAF \cong \triangle OCE$ | 5. ASA Postulate. Tiên đề Góc – Cạnh – Góc. |
| 6. $\therefore \overline{CE} \cong \overline{AF}$ | 6. CPCTC. Các phần tương ứng của tam giác bằng nhau thì bằng nhau. |
